Berechnung von Teststatistiken

Hallo,
ich bin mich gerade mit der Ausgleichung am beschäftigen.Genauer formuliert bin ich gerade das Kapitel 8.3.4 Teststatistik für zusätzliche Parameter im Buch von Herrn Professor Niemeier am lesen. Die dort beschrieben Matrix Qyy wird einmal 8.3.31 (B^t*P*Qvv*PB)^-1 und 8.3.35 (B^t*P*B)^-1 unterschiedlich definiert.Diese würde ja bedeuten, das P*Qvv=I ist, welches ja nur der Fall ist wenn die H-Matrix=0-Matrix ist????
Mir erschließt sich das nicht vollständig, besonders könnte man dann in der Berechnung von R 8.3.37 alle P*Qvv durch I ersetzen. Für die Aufklärung meines Problems wäre ich sehr dankbar.
christian

Niemeier buch

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Hi,

die Berechnung der Teststatistiken laufen alle nach dem selben Schema ab. Die zu prüfenden Parameter werden durch ihre Genauigkeiten normiert und mit einem Quantilwert verglichen.

Wenn Du ein Modell der Form:

$A^TPAx=A^TPl$

hast, kannst Du durch Umsortierung der Spalten in A erreichen, dass der Parameter, den Du testen möchtest, am Ende steht. Entsprechendes gilt dann auch für x. Ausgeschrieben sieht Dein Gleichungssystem folglich so aus:

$\begin{pmatrix}A_1^TPA_1 & A_1^TPA_2 \\ A_2^TPA_1 & A_2^TPA_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1^TPl \\ A_2^TPl \end{pmatrix}$

Die Inverse der Normalgleichung liefert:
$\begin{pmatrix}A_1^TPA_1 & A_1^TPA_2 \\ A_2^TPA_1 & A_2^TPA_2 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & Q_{22} \end{pmatrix}$ ,

sodass sich Deine Teststatistik zu:
$T(x_2) = \frac{x_2^TQ_{22}^{-1}x_2} {m \sigma^2}; F_{m,\infty}$
ergibt (wobei ich mal $E\{x_2\} = 0$ unterstelle), siehe auch Jäger et al (2005).

Dass man $Q_{22}$ nicht einfach durch Invertierung von $A_2^TPA_2$ erhält, sieht man u.a. in Gl (9.1.17), sofern $A_1^TPA_2 \neq 0$ .

Schöne Grüße
Micha

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Hi,
danke für die schnelle Antwort, merke aber an deiner Antwort,dass ich die Frage anscheinend nicht ganz deutlich gemacht habe bzw. der Link die besprochenen Seite nicht enthält.
Darum habe ich dieses durch zwei Fotos nachgeholt.

Also mir ist nicht deutlich klar,mit welchen Qyy ich den Zuschlag R (bezogen auf omega1) berechne, wenn ich annehmen würde das mein y=0 (also in deinem Fall x2), also meine alternativhypothese gilt l+v=Ax und nicht mein Modell gilt l+v=Ax+By.
vielen Dank im voraus
chris

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Hallo,

die Kovarianzmatrix muss zum Parameter gehören. Demnach kann nur das Qyy richtig sein, welches nach Invertierung der Normalgleichung zum zu prüfenden Parameter passt. Alles andere würde doch gar keinen Sinn machen.

Die in meinem letzten Posting angegebene Teststatistik bezieht sich auf die F-Verteilung. Im Niemeier wird zwar $\chi^2$ genommen aber die Testentscheidung muss letztlich identisch sein, da

$m\cdot F_{m, \infty} = \chi^2_m$

gilt, wenn der a-priori Varianzfaktor verwendet wird. Folglich unterscheidet sich meine Gleichung nur um das 1/m.

Schöne Grüße
Micha

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Hi,
jetzt bin ich total verwirrt. Nach 8.3.34 unter Berücksichtigung von 8.3.33 muss für die mittlere Matrix doch (B^t*P*B)^-1 gelten.
Seite Niemeier
Also bei der Teststatistik bin ich noch gar nicht :-D .
Ich möchte den Zuschlag R auf die verbesserungsquadratsumme v^t*P*v (von Ax+By), der entsteht wenn ich das Modell Ax annehme und y=0 ist,berechnen.
vielen dank voraus für die Geduld und die Hilfe
Chris

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Hallo,

jetzt bin ich total verwirrt.

Sorry, sollte ich dazu beigetragen haben. Ich habe leider den Niemeier nicht zur Hand. Der liegt auf Arbeit. :-(

Ich kann Gleichung (8.3.35) nicht nachvollziehen, denn allg. ist
$\begin{pmatrix}0&&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^TPA&A^TPB\\B^TPA&B^TPB \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0\\I\end{pmatrix}$ $\neq\biggl(\begin{pmatrix}0&&I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A^TPA&A^TPB\\B^TPA&B^TPB\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\I\end{pmatrix}\biggr)^{-1}$

Die gesamte Normalgleichung wird in 8.3.34 invertiert und erst dann wird durch das Multiplizieren von [0 I] eine Submatrix herausgelöst. Schau Dir Gl. (9.1.17) an und Du wirst erkennen, dass es (in der Regel) nicht ausreicht, $B^TPB$ zu invertieren, um an die korrespondierende Submatrix der gesamten invertierten Matrix zu gelangen.

Nach 8.3.34 unter Berücksichtigung von 8.3.33 muss für die mittlere Matrix doch (B^t*P*B)^-1 gelten.

Nein, da erst invertiert wird (innere Matrix) und dann mit [0 1] eine Submatrix von dieser Inversen entsteht. Es würde nur gelten, wenn man erst die Submatrix zieht und dann invertiert.

Schöne Grüße
Micha

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Hi,
klar hast absolut recht, hatte gar nicht mehr an die Regeln der Inversion von Blockmatrizen gedacht. Ich kann mir jetzt nur vorstellen, dass die Aussage (B^t*P*B)^-1 als Notation ala Q22 gemeint ist. Ansonsten waere sie komplett sinnlos
Danke
Chris

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Hallo Chris,

klar hast absolut recht, hatte gar nicht mehr an die Regeln der Inversion von Blockmatrizen gedacht.

Daher war mein erstes Posting so gedacht, dass Du nur das grundsätzliche Schema kennen musst und weniger die Formeln aus einem Lehrbuch lernst. Der Test basiert immer auf Parameter durch Genauigkeit gleich Testgröße (keine mathematisch exakte Formulierung). Ausgehend von diesem Grundsatz muss man nur noch schauen, wie man an die Parameter und deren zugehörige Genauigkeit kommt. Entweder man rechnet tatsächlich das vollständige Modell mit dem Zusatzparameter oder aber man wendet das Gauß'sche Eliminationsverfahren an und gelangt zu den Gl (8.3.30)f. Eine Neuausgleichung kann dann entfallen. Dies ist einer der Hauptgründe, warum sich u.a. das Data-Snooping durchgesetzt hat. Eine schöne Herleitung findet sich im Jäger auf Seite 185ff.

Dir ein schönes Wochenende
Micha

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