Sigma Null

Liebes Forum,

eine Sache mit den a priori Angaben zu den Instrumenten-/Messfehlern ist mir im Hinblick auf den Globaltest am Ende einer Ausgleichung (noch) unklar. Aber der Reihe nach.

Ausgehend von der Matrix

$\Sigma_ {ll} = \text{diag}( \sigma_{l_1}^2, \ \sigma_{l_2}^2, \ \ldots \ , \ \sigma_{l_n}^2)$
in der die (erwartbaren) Varianzen der Messwerte vor der Ausgleichung (a priori) eingetragen sind, und der Abtrennung von des Genauigkeitsniveaus $\sigma_{0}^2$ durch

$\Sigma_ {ll} = \sigma_{0}^2 \ Q_{ll}$
wird in der Literatur (bspw. Möser 2012, S.77) im Zusammenhang mit der Einführung der Gewichte empfohlen, $\sigma_{0}^2$ so zu wählen, dass wenigstens eine Beobachtung das Gewicht Eins erhält." .

Danach kann die Gewichtsmatrix eingeführt werden:

$P = (Q_{ll})^{-1}$ .

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Im Globaltest dann wird die berechnete empirische Varianz

$s_0^2 = \frac{v^\top P v}{n-u}$
durch die Teststatistik

$F = \frac{ s_0^2 }{ \sigma_0^2 }$
auf die Nullhypothese

$E(s_0^2) = \sigma_0^2$
getestet. (bspw. Jäger 2005)

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Nun meine Frage: ist in beiden Fällen die gleiche Varianz $\sigma_0^2$ gemeint?

Meine Vermutung ist: ja

weil die Gewichtsmatrix in die Berechnung der empirischen Varianz $s_0^2$ wieder mit eingeht.
Der anfangs abgetrennte Faktor $\sigma_0^2$ kommt dann im Test halt wieder zurück. Nur bin ich mir unsicher, ob diese Vermutung der Wahrheit entspricht...

Viele Grüße

Thomas

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Hallo Thomas,

$\Sigma_ {ll} = \sigma_{0}^2 \ Q_{ll}$
wird in der Literatur (bspw. Möser 2012, S.77) im Zusammenhang mit der Einführung der Gewichte empfohlen, $\sigma_{0}^2$ so zu wählen, dass wenigstens eine Beobachtung das Gewicht Eins erhält." .

Ich würde $\sigma_{0}=1$ wählen, solange keine numerischen Probleme zu erwarten sind. Das vorziehen eines Faktors aus der Matrix lag doch vorrangig darin begründet, die Inverse von $Q_{ll}$ schneller/einfacher zu ermitteln. Da heute wohl fast ausnahmslos mit Programmen gearbeitet wird, ist dieser Vorteil eigentlich nicht mehr vorhanden. Ferner vereinfacht sich dann die Testgröße noch zu $F = \frac{ s_0^2 }{ \sigma_0^2 } = \frac{ s_0^2 }{ 1 } = s_0^2$ , mit $E(s_0^2) = 1$