Vergleich Sigma 0 a priori vs. Sigma 0 a posteriori

Hallo Zusammen,

ich habe eine Frage aus dem Bereich Ausgleichungsrechnung. Im allgemeinen werden die Gewichte im Rahmen einer vermittelnden Ausgleichung aus der Kovarianzmatrix der Eingangsbeobachtungen (also das stochastische Modell) unter prinzipiell willkürlicher Festlegung des mittleren Gewichtseinheitsfaktors a priori ermittelt. Nach Berechnung der Ausgleichung kann ja der mittlere Gewichtseinheitsfaktor a poste riori aus den Residuen, den Gewichten, der Anzahl der Beobachtungen und der Anzahl der Unbekannten berechnet werden.

Meines Wissen gibt es einige Quellen, bei denen Sigma a priori und Sigma a poste riori miteinander verglichen werden und z.B gefordert wird, dass die Werte sich hinreichend gut entsprechen. So wurde das meines Erachtens auch in den Vermessungsämtern in Sachsen (mein Referendariat war von 2001 bis 2003 :-D ) praktiziert. In den einschlägigen Lehrbüchern (Reissmann, Niemeyer und Navrantil) finde ich dazu aber gar nichts.

Bei einem einfachen Selbsttest unkorrelierter direkter Beobachtungen mit gleicher angenommener a priori Standardabweichung je Beobachtung bleibt das Verhältnis von Sigma a priori zu Sigma a poste riori gleich (unabhängig wie ich Sigma a priori festlege). Wie zu erwarten, erhält man auch das gleiche Ausgleichungsergebnis und die gleichen Genauigkeitsmaße für die Zielgröße. Hier gibt es meines Erachtens gar keine Möglichkeit eine hinreichende Übereinstimmung beider Werte zu erreichen.

Kennt jemand eine möglichst online einsehbare Quelle bzgl. des Vergleichs der beiden Werte? Findet das Verfahren ggfs. nur Anwendung bei verschiedenen Beoabchtungsgruppen (also zum Beispiel Winkel und Strecken)?

Vielen Dank und Gruß!

Alex

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Hallo Alex,

Meines Wissen gibt es einige Quellen, bei denen Sigma a priori und Sigma a poste riori miteinander verglichen werden und z.B gefordert wird, dass die Werte sich hinreichend gut entsprechen.

Dein Stichwort lautet in diesem Zusammenhang Globaltest und ist mit Sicherheit in den genannten Lehrbüchern enthalten.

Bei einem einfachen Selbsttest unkorrelierter direkter Beobachtungen mit gleicher angenommener a priori Standardabweichung je Beobachtung bleibt das Verhältnis von Sigma a priori zu Sigma a poste riori gleich (unabhängig wie ich Sigma a priori festlege).

Das ist korrekt, da in der Gewichtsmatrix $\sigma_0$ bereits verrechnet wurde. Selbige Gewichtsmatrix wird anschließend auch zur Bestimmung von $\hat{\sigma}_0$ herangezogen. Es besteht also eine direkte Abhängigkeit.

Hier gibt es meines Erachtens gar keine Möglichkeit eine hinreichende Übereinstimmung beider Werte zu erreichen.

Doch, natürlich. Aber $\sigma_0$ ist eben der falsche Weg. Du wirst Dein stochastisches Modell überdenken müssen, d.h. Du musst die einzelnen Unsicherheiten Deiner Beobachtungen anpassen.

Kennt jemand eine möglichst online einsehbare Quelle bzgl. des Vergleichs der beiden Werte?

Siehe oben, Globaltest oder Hypothesentest sind Deine Schlagworte.

Findet das Verfahren ggfs. nur Anwendung bei verschiedenen Beoabchtungsgruppen (also zum Beispiel Winkel und Strecken)?

Nein, aber dort lässt es sich noch feiner granulieren. Das Stichwort ist Varianzkomponentenschätzung.

Viele Grüße
Micha

--
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Tags:
Hypothesentest, Ausgleichungsrechnung, Globaltest, Varianzkompinentenschätzung, a-priori Varianzfaktor, a-posteriori Varianzfaktor

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Hallo MichaeL,

vielen Dank für Deine Antwort und den Verweis auf den Globaltest. Ja da war ich auf dem falschen Pferd unterwegs. Man muss natürlich das stochastische Modell überdenken und nicht Sigma 0 a priori verändern.

Im Falle der von mir angesprochenen vermittelnden Ausgleichung direkter unkorrelierter Beobachtungen, bei denen aufgrund Kenntis der Eingangsbeobachtungen von einer Gleichgewichtung ausgegangen werden kann, ändert eine Anpassung der a priori Standardabweichungen der Eingangsbeobachtungen sowohl am Ausgleichungsergebnis (Ist ja der einfache Mittelwert) sowie der zugehörigen Varianz des Ausgleichungsergebnis aber gar nichts.

Ohne nachgerechnet zu haben, würde ich zum Beispiel bei einem Geradenfit mit den Beoabchtungsgleichungen L = ax + b und der Annahme, dass alle Beobachtungen unkorreliert und gleichgenau sind, ebenfalls erwarten, dass eine gleichartige Änderung der a priori Standardabweichung aller Eingangsbeobachtungen (also demzufolge auch alle immer ein gleiches Gewicht) nichts am Ausgleichungsergebnis sowie der Kovarianzmatrix der geschätzten Parameter ändert. Somit wäre doch in diesem Fall der Globaltest und eine nachfolgende gleichartige Änderung aller a priori Standardabweichungen der Beobachtungen rein akademisch oder?

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Hallo Alex,

Ohne nachgerechnet zu haben, würde ich zum Beispiel bei einem Geradenfit mit den Beoabchtungsgleichungen L = ax + b und der Annahme, dass alle Beobachtungen unkorreliert und gleichgenau sind, ebenfalls erwarten, dass eine gleichartige Änderung der a priori Standardabweichung aller Eingangsbeobachtungen (also demzufolge auch alle immer ein gleiches Gewicht) nichts am Ausgleichungsergebnis sowie der Kovarianzmatrix der geschätzten Parameter ändert.

Das ist korrekt, da $\sigma^2_0$ im stochastischen Modell $C_{ll} = \sigma^2_0 Q_{ll}$ letztlich nur ein Vorfaktor ist. In Deinem konkreten Fall sieht man das unmittelbar, da $C_{ll} = \sigma^2_{0,1} I$ identisch ist zu $C_{ll} = \sigma^2_{0,2} \sigma^2_{l} I$ , worin $\sigma^2_{l}$ die Varianz der individuellen Beobachtung ist und $\sigma^2_{0,1} = \sigma^2_{0,2} \sigma^2_{l}$ .

Somit wäre doch in diesem Fall der Globaltest und eine nachfolgende gleichartige Änderung aller a priori Standardabweichungen der Beobachtungen rein akademisch oder?

Nicht unbedingt. Du schreibst oben, dass Deine Beobachtungen "unkorreliert und gleichgenau" sind. Das ist eine relative Angabe zwischen den Beobachtungen, aus der nicht geschlossen werden kann, wie genau Deine Beobachtungen tatsächlich sind. Du gibst lediglich vor, dass die Varianzen untereinander diese beiden Eigenschaften erfüllen sollen. Du kannst demnach die Kovarianzmatrix der Beobachtungen $C_{ll}$ nicht spezifizieren sondern lediglich die Kofaktormatrix $Q_{ll}$ . Der Globaltest soll nun aber prüfen, ob funktionales und stochastisches Modell sinnvoll gewählt wurden. Dieser Test setzt also zwingend voraus, dass Du $C_{ll}$ spezifizieren kannst und nicht nur $Q_{ll}$ .

Wenn Du nur "unkorreliert und gleichgenau" Beobachtungen hast (aber keine Varianzen und ggf. Kovarianzen), dann macht dieser Test keinen Sinn - auch im akademischen Bereich nicht. ;-)

Viele Grüße
Micha

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Hypothesentest, Ausgleichungsrechnung, Globaltest, Varianzkompinentenschätzung, a-priori Varianzfaktor, a-posteriori Varianzfaktor

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Hallo MichaeL,

vielen Dank für Deine Hilfe. Damit sollte wir unsere Aufgabe korrekt lösen können :-P .

Wenn Du nur "unkorreliert und gleichgenau" Beobachtungen hast (aber keine Varianzen und ggf. Kovarianzen), dann macht dieser Test keinen Sinn - auch im akademischen Bereich nicht.

Dann schenken wir uns den Test auch :-D

Gruß Alex

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