und dann mal "von oben" draufgeschaut:

und Wunder oh Wunder - es sind keine Abweichungen mehr vorhanden.

Für alle, die das bis hierher verfolgt haben - die Lösung ist nun tatsächlich aus der Covarianzmatrix die und die nebst der Kovarianzen als Matrix auslösen (die ist dann 2x2) und diese "ganz normal" in EV und EW zerlegen.

Dann hat man schon die HA der Ellipse und der Rest ist nur noch den Bogen zu berechnen.

Vielen Dank Micha für Deine Ausdauer!!!!

Beste Grüße

Thomas

btw:

Man könnte natürlich durch Umformung der Kovarianzmatrix die z-Komponente aus dem Gleichungssystem reduzieren.

hierbei ist die xy-bezogene Kovarianzmatrix (die Du grün markiert hattest) die zu z-Koordinate gehörende Komponente (bei Dir nur die Varianz) und die Nebenelemente der Matrix. Die Matrix wäre Deine reduzierte 2x2 Kovarianzmatrix.

Ist genau die Ellipse, die entsteht, wenn man die xy-Ebene mit dem Ellipsoid schneidet. (grüner Kreis)

Also der Wissenszuwachs (oder die Wiedererweckung) heute war unglaublich.

So hatte ich das bisher auch. Und das funktioniert aber eben nur in der Ebene, wenn in meiner Kovaianzmaztrix ausschließlich x und y Einträge drin sind. Beim betrachteten Fall sind es aber eben x, y und z.
Nehme ich nur die "Untermatrix" für die Lage so gehen mir Informationen über die Schiefe des Ellipsoides (Einfluß der nach oben gerichteten Komponente) verloren. Liege ich da falsch?

Nein. Du würdest Informationen vernachlässigen. Aber in Deiner 2D-Abbildung werden letztlich auch Informationen verloren gehen.

Die Korrelationen zwischen den Punkten betrachtest Du auch nicht, obwohl sie vermutlich existieren.

Man könnte natürlich durch Umformung der Kovarianzmatrix die z-Komponente aus dem Gleichungssystem reduzieren.

hierbei ist die xy-bezogene Kovarianzmatrix (die Du grün markiert hattest) die zu z-Koordinate gehörende Komponente (bei Dir nur die Varianz) und die Nebenelemente der Matrix. Die Matrix wäre Deine reduzierte 2x2 Kovarianzmatrix.

Schöne Grüße
Micha

Im Extremfall ja. Und genau dann, wenn die z-Achsen zusammenfallen und die x- und y-Achse des Ellipsoides gleich lang sind.

Das ist _ein_ möglicher Fall, der zum Kreis führt. Es ist aber für den Kreis nicht Voraussetzung, dass mind. 2 Achsen gleichlang sind.

Ja stimmt - aus einer Ellipse kann ja perspektivisch auch ein Kreis werden...

Ich möchte gern zu einem berechneten 3D-Punkt ein Fehlermaß in der Lage angeben.

Für einen Punkt in der Lage ein Fehlermaß anzugeben ist eben die Fehlerellipse, die sich aus der 2x2 Kovarianzmatrix ergibt.

So hatte ich das bisher auch. Und das funktioniert aber eben nur in der Ebene, wenn in meiner Kovaianzmaztrix ausschließlich x und y Einträge drin sind. Beim betrachteten Fall sind es aber eben x, y und z.

Nehme ich nur die "Untermatrix" für die Lage (grün)

so gehen mir Informationen über die Schiefe des Ellipsoides (Einfluß der nach oben gerichteten Komponente) verloren. Liege ich da falsch?

Wenn man diese dann mit dem 3D-Ellipsoid vergleicht, dann sieht man, dass weder Drehung noch Figur übereinstimmen. (habe ich aber auch ausprobiert )

Dazu gibts aber kein Bild, oder?

Da müsste ich mich heute Abend mal ans Matlab setzen und die entsprechende Grafik berechnen...

Viele Grüße

Thomas

... und dabei kann aus dem Ellipsoid auch ein Kreis werden in der Abbildung.

Im Extremfall ja. Und genau dann, wenn die z-Achsen zusammenfallen und die x- und y-Achse des Ellipsoides gleich lang sind.

Das ist _ein_ möglicher Fall, der zum Kreis führt. Es ist aber für den Kreis nicht Voraussetzung, dass mind. 2 Achsen gleichlang sind.

Ich möchte gern zu einem berechneten 3D-Punkt ein Fehlermaß in der Lage angeben.

Für einen Punkt in der Lage ein Fehlermaß anzugeben ist eben die Fehlerellipse, die sich aus der 2x2 Kovarianzmatrix ergibt.

Nee, das funktioniert nicht, da da komplett andere EV und EW herauskommen.

Ja natürlich, was sonst?

Wenn man diese dann mit dem 3D-Ellipsoid vergleicht, dann sieht man, dass weder Drehung noch Figur übereinstimmen. (habe ich aber auch ausprobiert )

Dazu gibts aber kein Bild, oder?

Schöne Grüße
Micha

Ja, auf dem Ellipsoid. Sie bildet aber nicht die äußere Grenze.

Grundsätzlich muss sie das auch nicht.

Warum? Mein (Fehler) Ellipsoid hat ja auch drei verschieden lange Achsen und die erzeugen eben (rückblickend auf mein "normales", nicht verdrehtes (Ausgangs) Koordinatensystem je nach Ebene unterschiedliche Ellipsen. Wobei ich das Gefühl nicht loswerde, dass die jeweils dritte Achse des Ellipsoides schon eine Rolle spielt, da ja die Ellipsoidachsen gegen die Achsen des AusgangsKS verdreht sind. Somit entsteht ja dieses Ellipsoid, das eben nicht in jeder Achsrichtung symmetrisch ist. (flachgedrückter football)

Ich möchte gern den Schattenwurf einer Lampe, die (sehr weit weg) die z-Achse entlang strahlt und damit den elliptischen Schatten in der x-y-Ebene erzeugt.

... und dabei kann aus dem Ellipsoid auch ein Kreis werden in der Abbildung.

Im Extremfall ja. Und genau dann, wenn die z-Achsen zusammenfallen und die x- und y-Achse des Ellipsoides gleich lang sind.
Genau an diesem Beispiel sieht man, wie der Fehler in der Ebene(xy) sich abbildet. Führt man nun das Gedankenexperiment weiter und kippt das Ellipsoid ein wenig, so wirkt der im EllipsoidKS nach "oben" gerichtete Wert in die Abbildung der xy-Eben hinein. Und genau das möchte ich berechnen können.

ODER vielleicht klären wir mal kurz wozu ich den ganzen Zauber veranstalte: Ich möchte gern zu einem berechneten 3D-Punkt ein Fehlermaß in der Lage angeben. Möglicherweise hilft das schon ein bisschen bei der Betrachtung des Problems?

Na für Grün nehme ich den x-Wert der Hauptachse...

Ich hätte bei der Kovarianzmatrix die z-Komponente weg gelassen und damit die eig-Zerlegung gemacht.

Nee, das funktioniert nicht, da da komplett andere EV und EW herauskommen. Wenn man diese dann mit dem 3D-Ellipsoid vergleicht, dann sieht man, dass weder Drehung noch Figur übereinstimmen. (habe ich aber auch ausprobiert )

Kann man das vielleicht auch in Matrixform formulieren?

Geht bestimmt - aber fällt dann in Deinen Aufgabenbereich.

Ich weiß... War ein Versuch

Vermutlich brauche ich das im "Matrixfall" nicht mehr zu beachten, da ja in den Abblidungsmatrizen schon alles enthalten ist.

Die Matrix der Eigenvektoren ist die Rotation, die Eigenvektoren die Halbachsen und die Koordinaten vom Mittelpunkt entsprechen den Koordinaten des Punktes. Du hast also alle Werte zum Aufstellen der Gleichung fürs Ellipsoid und kannst es in diese Form überführen...

Genauso wird es werden.

Gruß Thomas