Ellipsoid in Ebene abbilden

Hallo und moin moin,

ich hoffe, es fühlt sich niemand veralbert - ich habe noch eine Frage zu Transformation(en):

Nachdem wir nun umfänglich geklärt haben, wie man zu einem Fehlerellipsoid kommt, wird nunmehr eine Idee benötigt, das 3D-Ellipsoid (klar, 3D - sonst wäre es ja keines ;-) ) in eine Ebene abzubilden.

Zunächst einmal ein hübsches (?) Bild von der 3D-Ansicht in der in Rot die gewünschte Ellipse eingezeichnet ist.

Und nun eines mit dem (falschen) Ergebnis in der Draufsicht.

Mit den roten Pfeilen habe ich die Abweichung gekennzeichnet. Zu dem Ergebnis bin ich gekommen, indem ich mir die beiden größten EW nebst der EV rausgesucht habe und diese zu einer Ellipse verarbeitet habe. Das ist wohl falsch gewesen. Allerdings hatte ich keine andere Idee aus 3D 2D zu machen, als einfach einen EV wegzulassen. Jetzt ist mir auch klar, dass das Unsinn ist - deswegen meine Frage: wie mache ich das richtig?

Zur Verfügung stehen mir die EV (in V) und EW (in Matrix D) in der Dimension 3. (als Ergenis der Spektralzerlegung von $N^{-1}$ Also:
$v_1$ mit $\lambda_1$ , $v_2$ mit $\lambda_2$ usw.

Bisher habe ich nur in immer gleichen Dimensionen (Räumen) transformiert - aber nun eine Dimension "weglassen"?

Viele Grüße

Thomas

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Das ist ein sehr komplexes Problem. Es handelt sich dabei um eine Karten-Projektion.
Unter den Begriff Kartennetzentwürfe findest du verschiedene Vorschläge, wie du einen Ellipsoid in der Ebene darstellen kannst.

Man kann einen Ellipsoid nicht ohne Verzerrungen auf eine Ebene abbilden. Es sind Kompromisse zu machen. Man unterscheidet zwischen winkeltreue(konforme), flächentreue und äquidistante Abbildungen. Jeweils gibt es hierfür verschiedene Vorschriften, die man in der Literatur der Kartographie nachlesen kann.

Fürs erste müsste auch diese Lektüre weiterhelfen:

Kartenprojektion des dreiachsigen Ellipsoids (Müller, 1991)

LG
Sebastian

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Hi,

Nachdem wir nun umfänglich geklärt haben, wie man zu einem Fehlerellipsoid kommt, wird nunmehr eine Idee benötigt, das 3D-Ellipsoid (klar, 3D - sonst wäre es ja keines ) in eine Ebene abzubilden.

Okay. Dann schneide das Ellipsoid mit einer Ebene. Die resultierende Fläche ist Deine Ellipse. Vermutlich kommst Du zum selben Ergebnis, wenn Du aus Deiner 3x3-Matrix die Höhenkomponente entfernst und die Zerlegung mit der verbleibenden 2x2-Matrix machst.

Vielleicht habe ich aber auch das Problem nicht korrekt erfasst - .sebs Stichwort: Kartennetzentwürfe kam mir bei der Frage jedenfalls nicht in den Sinn...

Schönen Abend
Micha

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Hallo Michael,

ja ich sehe schon. Ich habe mir vorhin bei der Frage auch gedacht, meint er nun den Schnitt einer Ebene mit dem Ellipsoid (Ellipsenschnitt) oder meint er eine Projektion des Ellipsoids auf eine Ebene (Karten-Projektion).

So richtig schlüssig ist mir das aus seinen Formulierung nicht geworden.
Dabei ist mir die Projektion noch am ehesten in den Sinn gekommen, schließlich will er ja das Ellipsoid auf eine Ebene abbilden...

Vielleicht bekommen wir von ihm noch genauere Informationen!

Grüße
Sebastian

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Hallo ihr Beiden,

zunächst einmal vielen Dank für Eure Überlegungen. Wahrscheinlich war ich tatsächlich missverständlich.

Es sollte kein Kartennetzentwurf werden, sondern so eine Art Kegelschnitt ohne Kegel. Oder wie Micha richtigerweise sagt, der Schnitt mit einer Ebene.

Vermutlich kommst Du zum selben Ergebnis, wenn Du aus Deiner 3x3-Matrix die Höhenkomponente entfernst und die Zerlegung mit der verbleibenden 2x2-Matrix machst.

Naja, nicht ganz. Sowas ähnliches habe ich ja schon gemacht und es ist schief gegangen. Ich denke, dass man da "richtg" was rechnen muss. Eben wie Du schon sagst:

Dann schneide das Ellipsoid mit einer Ebene. Die resultierende Fläche ist Deine Ellipse.

Mal sehen, ich gucke mal im Netz wie das ging - mein Studium ist zu lange her um das noch im Kopf zu haben ;-)

Viele Grüße!

Thomas

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Hi,

Sowas ähnliches habe ich ja schon gemacht und es ist schief gegangen.

Das Misslingen konnte ich im Bild nicht erkennen. Ich weiß nicht, was diese roten Pfeile zeigen sollen bzw. woran ich die Abweichung/Differenzen erkennen kann.

Dann schneide das Ellipsoid mit einer Ebene. Die resultierende Fläche ist Deine Ellipse.

Mal sehen, ich gucke mal im Netz wie das ging

Durch Gleichsetzen beider Gleichungen.

Schöne Grüße
Micha

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Moin moin,

Sowas ähnliches habe ich ja schon gemacht und es ist schief gegangen.

Das Misslingen konnte ich im Bild nicht erkennen. Ich weiß nicht, was diese roten Pfeile zeigen sollen bzw. woran ich die Abweichung/Differenzen erkennen kann.

Ich gebe zu, dass der plot nicht ganz so schön ist. Wenn man die dünne rote Linie sucht (Ellipse) auf die der Pfeil zeigt und dann die Abweichung zum Ellipsoid betrachtet, dann wird glaube ich klar, worauf ich hinaus will.

Ich habe das ganze auch mal als 2D gezeichnet - dann wird das vielleicht klarer:

Bisher bekomme ich mit der Methode des Weglassens der "überflüssigen" Komponente nur die Ablotungen (grün). Allerdings hätte ich gern die Begrenzungen (blau).

Durch Gleichsetzen beider Gleichungen.

Also ich habe eine Abbildungsmatrix des Ellipsoides $A = V \cdot D \cdot V^\top$ , wobei V die Eigenvektoren (Halbachsen) und D die Eigenwerte (Länge der Halbachsen) beinhaltet.

Abbilden möchte ich das in die Ebene

[image]

Kann ich nun einfach $A \cdot E$ ausführen und was "vernüftiges" erwarten?

Hmmm....

Viele Grüße

Thomas

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Hallo,

Ich gebe zu, dass der plot nicht ganz so schön ist. Wenn man die dünne rote Linie sucht (Ellipse) auf die der Pfeil zeigt und dann die Abweichung zum Ellipsoid betrachtet, dann wird glaube ich klar, worauf ich hinaus will.

Nein, tut mir Leid. Für mich liegt die rote Linie optisch auf dem Ellipsoid.

Bisher bekomme ich mit der Methode des Weglassens der "überflüssigen" Komponente nur die Ablotungen (grün). Allerdings hätte ich gern die Begrenzungen (blau).

Auch hier ist mir nicht klar, was Du machst. Wie kommst Du auf grün, wie kommst Du auf blau?

Durch Gleichsetzen beider Gleichungen.

Also ich habe eine Abbildungsmatrix des Ellipsoides
Abbilden möchte ich das in die Ebene

Die Ellipsoidgleichung stellst Du mit Deinen Parametern auf, die Du aus der Zerlegung bekommen hast. Würde das Ellipsoid in Normallage liegen, wäre dies:

$E: \frac {(x-x_0)^2} {a^2} + \frac {(y-y_0)^2} {b^2} + \frac {(z-z_0)^2} {c^2} = 1$

(Die Rotation habe ich mal weggelassen, das darfst Du aber nicht!)

Die Ebene könnte man als Normalform parametrieren:
$P: n_xx + n_yy + n_zz = d$

Gleichsetzen wäre nun E = P zu setzen.

Gruß Micha

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Hallo,

Ich gebe zu, dass der plot nicht ganz so schön ist. Wenn man die dünne rote Linie sucht (Ellipse) auf die der Pfeil zeigt und dann die Abweichung zum Ellipsoid betrachtet, dann wird glaube ich klar, worauf ich hinaus will.

Nein, tut mir Leid. Für mich liegt die rote Linie optisch auf dem Ellipsoid.

Ja, auf dem Ellipsoid. Sie bildet aber nicht die äußere Grenze. Vieleicht bin ich auch nach wie vor zu unklar.

Ich möchte gern den Schattenwurf einer Lampe, die (sehr weit weg) die z-Achse entlang strahlt und damit den elliptischen Schatten in der x-y-Ebene erzeugt.

Bisher bekomme ich mit der Methode des Weglassens der "überflüssigen" Komponente nur die Ablotungen (grün). Allerdings hätte ich gern die Begrenzungen (blau).

Auch hier ist mir nicht klar, was Du machst. Wie kommst Du auf grün, wie kommst Du auf blau?

Na für Grün nehme ich den x-Wert der Hauptachse (lasse also den z-Wert einfach so weg) und wie ich zu blau kommen soll -> genau das ist ja meine Frage.

Die Ellipsoidgleichung stellst Du mit Deinen Parametern auf, die Du aus der Zerlegung bekommen hast. Würde das Ellipsoid in Normallage liegen, wäre dies:

$E: \frac {(x-x_0)^2} {a^2} + \frac {(y-y_0)^2} {b^2} + \frac {(z-z_0)^2} {c^2} = 1$

Die Ebene könnte man als Normalform parametrieren:
$P: n_xx + n_yy + n_zz = d$

Gleichsetzen wäre nun E = P zu setzen.

Kann man das vielleicht auch in Matrixform formulieren? Denn genau die habe ich ja schon vorliegen und würde diese gern gleich weiter verarbeiten...

(Die Rotation habe ich mal weggelassen, das darfst Du aber nicht!)

Vermutlich brauche ich das im "Matrixfall" nicht mehr zu beachten, da ja in den Abblidungsmatrizen schon alles enthalten ist. Geht das "mit wenig Aufwand" zu formulieren?

Gruß Thomas

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Hi,

Ja, auf dem Ellipsoid. Sie bildet aber nicht die äußere Grenze.

Grundsätzlich muss sie das auch nicht.

Ich möchte gern den Schattenwurf einer Lampe, die (sehr weit weg) die z-Achse entlang strahlt und damit den elliptischen Schatten in der x-y-Ebene erzeugt.

... und dabei kann aus dem Ellipsoid auch ein Kreis werden in der Abbildung.

Na für Grün nehme ich den x-Wert der Hauptachse...

Ich hätte bei der Kovarianzmatrix die z-Komponente weg gelassen und damit die eig-Zerlegung gemacht.

Kann man das vielleicht auch in Matrixform formulieren?

Geht bestimmt - aber fällt dann in Deinen Aufgabenbereich. ;-)

Vermutlich brauche ich das im "Matrixfall" nicht mehr zu beachten, da ja in den Abblidungsmatrizen schon alles enthalten ist.

Die Matrix der Eigenvektoren ist die Rotation, die Eigenvektoren die Halbachsen und die Koordinaten vom Mittelpunkt entsprechen den Koordinaten des Punktes. Du hast also alle Werte zum Aufstellen der Gleichung fürs Ellipsoid und kannst es in diese Form überführen...

Gruß Micha

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Moin,

Ja, auf dem Ellipsoid. Sie bildet aber nicht die äußere Grenze.

Grundsätzlich muss sie das auch nicht.

Warum? Mein (Fehler) Ellipsoid hat ja auch drei verschieden lange Achsen und die erzeugen eben (rückblickend auf mein "normales", nicht verdrehtes (Ausgangs) Koordinatensystem je nach Ebene unterschiedliche Ellipsen. Wobei ich das Gefühl nicht loswerde, dass die jeweils dritte Achse des Ellipsoides schon eine Rolle spielt, da ja die Ellipsoidachsen gegen die Achsen des AusgangsKS verdreht sind. Somit entsteht ja dieses Ellipsoid, das eben nicht in jeder Achsrichtung symmetrisch ist. (flachgedrückter football)

Ich möchte gern den Schattenwurf einer Lampe, die (sehr weit weg) die z-Achse entlang strahlt und damit den elliptischen Schatten in der x-y-Ebene erzeugt.

... und dabei kann aus dem Ellipsoid auch ein Kreis werden in der Abbildung.

Im Extremfall ja. Und genau dann, wenn die z-Achsen zusammenfallen und die x- und y-Achse des Ellipsoides gleich lang sind.
Genau an diesem Beispiel sieht man, wie der Fehler in der Ebene(xy) sich abbildet. Führt man nun das Gedankenexperiment weiter und kippt das Ellipsoid ein wenig, so wirkt der im EllipsoidKS nach "oben" gerichtete Wert in die Abbildung der xy-Eben hinein. Und genau das möchte ich berechnen können.

ODER vielleicht klären wir mal kurz wozu ich den ganzen Zauber veranstalte: Ich möchte gern zu einem berechneten 3D-Punkt ein Fehlermaß in der Lage angeben. Möglicherweise hilft das schon ein bisschen bei der Betrachtung des Problems?

Na für Grün nehme ich den x-Wert der Hauptachse...

Ich hätte bei der Kovarianzmatrix die z-Komponente weg gelassen und damit die eig-Zerlegung gemacht.

Nee, das funktioniert nicht, da da komplett andere EV und EW herauskommen. Wenn man diese dann mit dem 3D-Ellipsoid vergleicht, dann sieht man, dass weder Drehung noch Figur übereinstimmen. (habe ich aber auch ausprobiert ;-) )

Kann man das vielleicht auch in Matrixform formulieren?

Geht bestimmt - aber fällt dann in Deinen Aufgabenbereich.

Ich weiß... War ein Versuch :-D

Vermutlich brauche ich das im "Matrixfall" nicht mehr zu beachten, da ja in den Abblidungsmatrizen schon alles enthalten ist.

Die Matrix der Eigenvektoren ist die Rotation, die Eigenvektoren die Halbachsen und die Koordinaten vom Mittelpunkt entsprechen den Koordinaten des Punktes. Du hast also alle Werte zum Aufstellen der Gleichung fürs Ellipsoid und kannst es in diese Form überführen...

Genauso wird es werden.

Gruß Thomas

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Hallo,

... und dabei kann aus dem Ellipsoid auch ein Kreis werden in der Abbildung.

Im Extremfall ja. Und genau dann, wenn die z-Achsen zusammenfallen und die x- und y-Achse des Ellipsoides gleich lang sind.

Das ist _ein_ möglicher Fall, der zum Kreis führt. Es ist aber für den Kreis nicht Voraussetzung, dass mind. 2 Achsen gleichlang sind.

Ich möchte gern zu einem berechneten 3D-Punkt ein Fehlermaß in der Lage angeben.

Für einen Punkt in der Lage ein Fehlermaß anzugeben ist eben die Fehlerellipse, die sich aus der 2x2 Kovarianzmatrix ergibt.

Nee, das funktioniert nicht, da da komplett andere EV und EW herauskommen.

Ja natürlich, was sonst?

Wenn man diese dann mit dem 3D-Ellipsoid vergleicht, dann sieht man, dass weder Drehung noch Figur übereinstimmen. (habe ich aber auch ausprobiert )

Dazu gibts aber kein Bild, oder?

Schöne Grüße
Micha

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Moijn,

Im Extremfall ja. Und genau dann, wenn die z-Achsen zusammenfallen und die x- und y-Achse des Ellipsoides gleich lang sind.

Das ist _ein_ möglicher Fall, der zum Kreis führt. Es ist aber für den Kreis nicht Voraussetzung, dass mind. 2 Achsen gleichlang sind.

Ja stimmt - aus einer Ellipse kann ja perspektivisch auch ein Kreis werden...

Ich möchte gern zu einem berechneten 3D-Punkt ein Fehlermaß in der Lage angeben.

Für einen Punkt in der Lage ein Fehlermaß anzugeben ist eben die Fehlerellipse, die sich aus der 2x2 Kovarianzmatrix ergibt.

So hatte ich das bisher auch. Und das funktioniert aber eben nur in der Ebene, wenn in meiner Kovaianzmaztrix ausschließlich x und y Einträge drin sind. Beim betrachteten Fall sind es aber eben x, y und z.

Nehme ich nur die "Untermatrix" für die Lage (grün)

[image]

so gehen mir Informationen über die Schiefe des Ellipsoides (Einfluß der nach oben gerichteten Komponente) verloren. Liege ich da falsch?

Wenn man diese dann mit dem 3D-Ellipsoid vergleicht, dann sieht man, dass weder Drehung noch Figur übereinstimmen. (habe ich aber auch ausprobiert )

Dazu gibts aber kein Bild, oder?

Da müsste ich mich heute Abend mal ans Matlab setzen und die entsprechende Grafik berechnen...

Viele Grüße

Thomas

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Hi,

So hatte ich das bisher auch. Und das funktioniert aber eben nur in der Ebene, wenn in meiner Kovaianzmaztrix ausschließlich x und y Einträge drin sind. Beim betrachteten Fall sind es aber eben x, y und z.
Nehme ich nur die "Untermatrix" für die Lage so gehen mir Informationen über die Schiefe des Ellipsoides (Einfluß der nach oben gerichteten Komponente) verloren. Liege ich da falsch?

Nein. Du würdest Informationen vernachlässigen. Aber in Deiner 2D-Abbildung werden letztlich auch Informationen verloren gehen.

Die Korrelationen zwischen den Punkten betrachtest Du auch nicht, obwohl sie vermutlich existieren.

Man könnte natürlich durch Umformung der Kovarianzmatrix die z-Komponente aus dem Gleichungssystem reduzieren.

$\hat {C_{11}} = C_{11} - C_{12} C_{22}^{-1} C_{21}$

hierbei ist $C_{11}$ die xy-bezogene Kovarianzmatrix (die Du grün markiert hattest) $C_{22}$ die zu z-Koordinate gehörende Komponente (bei Dir nur die Varianz) und $C_{12}$ die Nebenelemente der Matrix. Die Matrix $\hat {C_{11}}$ wäre Deine reduzierte 2x2 Kovarianzmatrix.

Schöne Grüße
Micha

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Oh man! Du hattest Recht! Gerade habe ich versucht Dir die Abbildung zu reproduzieren, in der der Fehler ist und es ist mir nicht gelungen. Wahrscheinlich hatte ich in meinem Matlab-Script irgendwo einen bug drin. Jetzt klappt es jedenfalls ganz passgenau mit dem Umriß des Ellipsoides. Zunächst die 3D_Darstellung:

und dann mal "von oben" draufgeschaut:

und Wunder oh Wunder - es sind keine Abweichungen mehr vorhanden.

Für alle, die das bis hierher verfolgt haben - die Lösung ist nun tatsächlich aus der Covarianzmatrix die $c_{xx}$ und die $c_{yy}$ nebst der Kovarianzen als Matrix auslösen (die ist dann 2x2) und diese "ganz normal" in EV und EW zerlegen.

[image]

Dann hat man schon die HA der Ellipse und der Rest ist nur noch den Bogen zu berechnen.

Vielen Dank Micha für Deine Ausdauer!!!! :ok:

Beste Grüße

Thomas

btw:

Man könnte natürlich durch Umformung der Kovarianzmatrix die z-Komponente aus dem Gleichungssystem reduzieren.

$\hat {C_{11}} = C_{11} - C_{12} C_{22}^{-1} C_{21}$

hierbei ist $C_{11}$ die xy-bezogene Kovarianzmatrix (die Du grün markiert hattest) $C_{22}$ die zu z-Koordinate gehörende Komponente (bei Dir nur die Varianz) und $C_{12}$ die Nebenelemente der Matrix. Die Matrix $\hat {C_{11}}$ wäre Deine reduzierte 2x2 Kovarianzmatrix.

Ist genau die Ellipse, die entsteht, wenn man die xy-Ebene mit dem Ellipsoid schneidet. (grüner Kreis)

Also der Wissenszuwachs (oder die Wiedererweckung) heute war unglaublich. :clap:

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