mittlerer Punktfehler - Sicherheitswahrscheinlichkeit (Geodäsie/Vermessung)

Barny.G, Mittwoch, 29.06.2016, 11:21 (vor 1701 Tagen)
bearbeitet von MichaeL, Donnerstag, 30.06.2016, 10:58

Liebes Forum,

ist es möglich eine ungefähre Angabe zur Sicherheitswahrscheinlichkeit (im Folgenden SW) des mittleren Punktfehlers zu machen.

Beim Niemeier (2008,S. 279) ist für die Fehlerellipse eine kleine Tabelle zu finden, in der die SW in Abhängigkeit zu den Überbestimmungen dargestellt ist.

Ich möchte gern ebenfalls eine ähnliche Angabe machen können. Mir würde schon eine Spanne der Art:

Die SW (1-alpha) liegt in Abhängigkeit zu den Überbestimmungen zwischen ##% und ##%.

Auch stärkeres Googeln hat mich da nicht weiter gebracht...

Kann mir da jemand helfen? Ich bin bestimmt nicht der Erste, der darüber mal nachdenkt ;-)

Viele Grüße

Thomas.

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mittlerer Punktfehler - Sicherheitswahrscheinlichkeit

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 30.06.2016, 11:17 (vor 1700 Tagen) @ Barny.G

Hallo Thomas,

ist es möglich eine ungefähre Angabe zur Sicherheitswahrscheinlichkeit (im Folgenden SW) des mittleren Punktfehlers zu machen.
Ich möchte gern ebenfalls eine ähnliche Angabe machen können. Mir würde schon eine Spanne der Art:
Die SW (1-alpha) liegt in Abhängigkeit zu den Überbestimmungen zwischen ##% und ##%.

Eine Graphik meinst Du? Diese lässt sich doch recht einfach bestimmen. Ich habe es mal für Intervalle (z.B. Höhenpunkt), Ellipsen (z.B. Lagepunkt) und Ellipsoide (z.B. Raumpunkt) schnell erstellt. Bereits bei einem Freiheitsgrad von r > 10 streben die Werte gegen den jeweiligen Grenzwert.

[image]

Folglich liegt die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 % und dem jeweiligen Grenzwert 68,27 %; 39,35 % bzw. 19,87 % für 1D, 2D bzw. 3D. Ist es das, was Du gesucht hast?

Ich bin bestimmt nicht der Erste, der darüber mal nachdenkt

Sicher nicht aber wenn man sieht, dass der Bereich im 3D-Fall nicht mal 20 % (im Best-Case wohlgemerkt) hat, lohnt es auch nicht, dies zu vertiefen, oder? ;-)


Viele Grüße
Micha

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Tags:
Sicherheitswahrscheinlichkeit, Ellipsoid, Konfidenzbereich, Punktfehler, Wahrscheinlichkeit, Ellipse

mittlerer Punktfehler - Sicherheitswahrscheinlichkeit

Barny.G, Freitag, 01.07.2016, 12:04 (vor 1699 Tagen) @ MichaeL

Endlich! Mann ich war schon ganz traurig, als die Webseite nicht mehr erreichbar gewesen ist. Ihr seid doch ein für mich ziemlich wichtiges, weil kompetentes, Forum!!

Hallo Micha,

eine sehr schöne Grafik! Auch wenn ich mich jetzt ein bisschen bloss stelle: Wie hast Du die erstellt/gerechnet?

Nun zum Problem: Ich möchte Unkundigen zu verschiedenen (grafisch leicht erfassbaren) Fehlermaßen der Lageausgleichung (x,y) ein Gefühl für die Notwendigkeit einer hinreichenden Überbestimmung geben und zeitgleich aber auch explizit darauf hinweisen, dass zum Beispiel eine zum Kreis entartete Ellipse eben was völlig Anderes ist als der mittlere Punktfehler.

Die Halbachsen einer "Kreisellipse" werden so
a^2=b^2= \frac{1}{2} \; s_0^2 \; (q_{xx} + q_{yy})
berechnet. (ja, wenn die Einträge in der Submatrix Qjj eben qxx und qyy heissen ;-) )

Der mittlere Punktfehler ist durch
m_P^2 = s_0^2 \; (q_{xx} + q_{yy})
gegeben.

Damit ist dann eben
m_p=\sqrt{2a^2}.

Mein Dilemma ist, dass ich aufgrund dessen mir sehr unsicher bin ob die bei Niemeier angegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeiten für die Fehlerellipse eben auch für dem mP gelten. Ich denke nämlich nicht. Daher meine Frage. :-)

Nun nochmal konkret: Wie komme ich an die Werte für die Sicherheitswahrscheinlichkeit des mp heran? Ich hätte diese gern für die Überbestimmungen (1,2,5,10,oo)...
Gibt es da eine Formel (die ich ggf. auch verstehen kann)? ;-)

Viele Grüße!

Thomas

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MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Freitag, 01.07.2016, 19:25 (vor 1699 Tagen) @ Barny.G

Hallo,

Endlich! Mann ich war schon ganz traurig, als die Webseite nicht mehr erreichbar gewesen ist. Ihr seid doch ein für mich ziemlich wichtiges, weil kompetentes, Forum!!

Wir haben alle Rechnungen bezahle. Daran lag es nicht, dass es ca. 24 h nicht erreichbar war.

Wie hast Du die erstellt/gerechnet?
Gibt es da eine Formel (die ich ggf. auch verstehen kann)? ;-)

Vermutlich. Du weißt, dass man ein Quantil durch Vorgabe der Wahrscheinlichkeit berechnen kann (oder aus einer Tabelle ablesen kann). Nun brauchst Du genau das Gegenteil. Du kennst das Quantil und suchst dazu die Wahrscheinlichkeit. Du verstehst was ich meine?

ein Gefühl für die Notwendigkeit einer hinreichenden Überbestimmung geben

Das hätte ich persönlich anders erklärt - über den EP-Wert finde ich es ganz anschaulich. Wenn es keine Zusatzunbekannte gibt, dann ist EP = (1-r)∇. Wenn man also einen Redundanzanteil von 0.95 (also 95 %) hat, dann würde sich ein möglicher Fehler nur mit einem Anteil von 5 % auf die geschätzten Parameter auswirken.

Viele Grüße
Micha

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Tags:
Redundanzanteil, Einfluss auf die Punktlage, EP

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Barny.G, Samstag, 02.07.2016, 19:47 (vor 1698 Tagen) @ MichaeL

Hallo Micha,

vielen Dank für Deine Antwort. Das mit der CDF muss ich mir "mal in Ruhe" anschauen. Wahrscheinlich muss ich mir einfach noch einmal den Ansatz zur Fehlerellipse bei Niemeier durchlesen und werde dann verstehen, wie ich das auf den mp übertragen kann.

Aus dem link (vielen Dank!) werde ich jedoch noch nicht schlau. Das heisst, ich kann nachvollziehen, was da geschrieben steht, jedoch bin ich so schnell noch nicht in der Lage das auf mein Problem anzuwenden.

ein Gefühl für die Notwendigkeit einer hinreichenden Überbestimmung geben


Das hätte ich persönlich anders erklärt - über den EP-Wert finde ich es ganz anschaulich.

Ja genau. Das mache ich dann später ohnehin - und bringe auch einige Beispiele, die mit Konfidenzintervallen/-bereichen versehen sind (die dann entsprechend kleiner oder eben auch größer werden können).

Was ich beim mp eben noch mit angeben wollte: ist eine Tabelle aus der sofort ersichtlich ist, dass mit dem mp allein (statistisch) die "Schlacht" noch nicht gewonnen ist.
Und eben diese Sicherheitswahrscheinlichkeiten

[image]

geben "einem" schon mal einen ersten Überblick. Mir hat es im Studium in Bezug auf die Fehlerellipse (und in Verbindung mit den Konfidenzen) schnell eingeleuchtet, dass eben jene Ellipse noch nicht das Ende der vielzitierten Fahnenstange sein kann. ;-) Den gleichen Effekt wollte ich auch beim mp auslösen...

Also muss ich mich wohl mal mit der Umkehrfunktion CDF beschäftigen...

Viele Grüße

Thomas

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mittlerer Punktfehler - Sicherheitswahrscheinlichkeit

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Samstag, 02.07.2016, 20:43 (vor 1698 Tagen) @ Barny.G

Hallo,

vielen Dank für Deine Antwort. Das mit der CDF muss ich mir "mal in Ruhe" anschauen.

Wenn Du bspw. Matlab zur Verfügung hast, ist diese dort enthalten. Für die Grenzwerte, also wenn der Freiheitsgrad gegen unendlich geht, habe ich auf die schnelle diesen Online-Rechner gefunden: Compute the p-value for a chi-square distribution. Für χ² = 1 und ν = 2 erhältst Du 0.60653 und wenn Du nun noch (1 - 0.60653)*100[%] rechnest, erhältst Du die schon genannten 39.35 % für die Ellipse. Für die anderen Freiheitsgrade benötigst Du die CDF der F-Verteilung, damit Du die Werte in Abhängigkeit der Redundanz ermitteln kannst.

Wahrscheinlich muss ich mir einfach noch einmal den Ansatz zur Fehlerellipse durchlesen und werde dann verstehen, wie ich das auf den mp übertragen kann.

Wenn Du die Konfidenzbereiche verstanden hast, ist es recht einfach. Im Jäger et al. (2005) auf Seite 289 findest Du folgendes für die Fehlerellipse

\begin{pmatrix}\tilde x_i - \hat x_i & \tilde y_i - \hat y_i\end{pmatrix} C^{-1} \begin{pmatrix}\tilde x_i - \hat x_i \\ \tilde y_i - \hat y_i\end{pmatrix} = 1

die 99%-Konfidenzellipse ist hingegen
\begin{pmatrix}\tilde x_i - \hat x_i & \tilde y_i - \hat y_i\end{pmatrix} C^{-1} \begin{pmatrix}\tilde x_i - \hat x_i \\ \tilde y_i - \hat y_i\end{pmatrix} = \chi^2_{2,0.99} = 9.21

Die Ellipsen unterscheiden sich demnach um das Produkt 1 bzw. 9.21. Über die CDF kommst Du also von dem Quantil 9.21 wieder zu den 99 %. Wenn Du in dem genannten Online-Rechner χ² = 9.21 und ν = 2 einsetzt, erhältst Du 0.01 und somit (1-0.01)*100[%] = 99 %. Für die Fehlerellipse ist das Quantil nicht 9.21 sondern 1. Ich hoffe, es ist verständlicher geworden, wie dieser Wert bestimmt wird.

geben "einem" schon mal einen ersten Überblick. Mir hat es im Studium in Bezug auf die Fehlerellipse (und in Verbindung mit den Konfidenzen) schnell eingeleuchtet, dass eben jene Ellipse noch nicht das Ende der vielzitierten Fahnenstange sein kann. ;-) Den gleichen Effekt wollte ich auch beim mp auslösen...

Im Jäger et al. (2005) auf Seite 289 findest Du die Abbildung 7.1. Die zeigt Dir, dass der mittlere Punktfehler kein wirklich geeignetes Maß ist, einen Vertrauensbereich zu definieren.

So, jetzt ist Fussi!

Viele Grüße
Micha

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Tags:
CDF, Fehlerellipse, Cumulative distribution function, Konfidenzellipse, Wahrscheinlichkeit

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Barny.G, Sonntag, 03.07.2016, 13:21 (vor 1697 Tagen) @ MichaeL

Hallo Micha,

mit Deiner Hilfe und ein bisschen Nachdenken habe ich es nun geschafft und gleichzeitig eine Irrtum meinerseits gefunden/aufgeklärt. Aber der Reihe nach.

Zunächst einmal war der Hinweis auf Matlab goldwert, denn damit musste ich das Ganze nicht selber programmieren (was sicher nur noch zu weiteren Fehlern geführt hätte).

Als ich noch einmal bei Niemeier (den Jäger habe ich leider nicht als PDF/eBook hier) nachgeschazt habe, ist mir aufgefallen, wie die Theorie bezüglich der Ellipse von ihm aufgebaut worden ist. Er geht von der gr. HA der Konfidenzellipse

A_K^2 = 2 \; s_0^2 \; \lambda_1 \; F_{2,f,1-\alpha} = 2 \; A_F \; F_{2,f,1-\alpha}

aus, wobei AF die gr.HA der Fehlerellispe sein soll. Dann bildet er das Achsverhältnis und löste es nach dem Quantil auf:

\frac{1}{2} \; \frac{A_K^2}{A_F^2} = F_{2,f,1-\alpha}

und wenn AK=AF sein soll (eben die Fehlerellipse), dann ist

F_{2,f,1-\alpha} = 0,5 .

Tja, und dann wird der zweite Freiheitsgrad der F-Verteilung mit f=r (Redundanz) gleichgesetzt und tataaa:

[image]

sind die SW ermittelt. :-) Nur eines verstehe ich noch nicht ganz (also ich habe eine Ahnungm´, aber traue ihr nicht): Warum ist im Matlab der Grenzwert (also wenn ich r=1e100 wähle) "nur" 38,76% und Herr Niemeier kommt auf 39,4% ?

Hab's gefunden: wird r=1e999 gesetzt, so ist cdf(F)=39,3469 also rund 39,4% wie bei Niemeier...

Muss man für dieses Ergebnis eine Grenzwertbetrachtung durchführen? Wenn ich mir das Formelwerk so anschaue, dann scheint das recht anspruchsvoll zu werden - oder gibt es da eine einfache, weil schon mal niedergeschriebene Variante?

Viele Grüße!!

Thomas

Ps.: das war ein Krimi gestern - ich glaube 9 Schützen habe ich noch nie gesehen...

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MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Sonntag, 03.07.2016, 13:36 (vor 1697 Tagen) @ Barny.G

Hi Thomas,

das war ein Krimi gestern - ich glaube 9 Schützen habe ich noch nie gesehen...

Fußball hat sich gelohnt gestern, dass stimmt. :-D

aber traue ihr nicht): Warum ist im Matlab der Grenzwert (also wenn ich r=1e100 wähle) "nur" 38,76% und Herr Niemeier kommt auf 39,4% ?

Wenn der zweite Freiheitsgrad der F-Verteilung gegen unendlich geht, dann geht die F-Verteilung in die χ²-Verteilung über. Das Quantil für α=0.1 %, m=1 und n=∞ lautet z.B.

finv(1-0.001, 1, 10000000)
% 10.8275725527641
chi2inv(1-0.001, 1)
% 10.8275661706627
 

(wobei hier in der F-Verteilung n = ∞ ≈ 10000000 gesetzt wurde)

Der Grenzwert ist also der Wert, den Dir die χ²-Verteilung liefert. Wenn Du aber den Freiheitsgrad in Matlab bei der F-Verteilung weiter erhöhst, kommt es irgendwann zu numerischen Problemen, daher Deine festgestellten Differenzen.

Die so berechnete Wahrscheinlichkeit der Ellipse hat übrigens nichts mit dem mittleren Punktfehler zu tun. Das nur als Hinweis. ;-)

Viele Grüße
Micha

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mittlerer Punktfehler - Sicherheitswahrscheinlichkeit

Barny.G, Sonntag, 03.07.2016, 13:48 (vor 1697 Tagen) @ MichaeL

Die so berechnete Wahrscheinlichkeit der Ellipse hat übrigens nichts mit dem mittleren Punktfehler zu tun. Das nur als Hinweis. ;-)

Och nö! Ich dachte nun, dass das dann für alle 2D-Probleme gilt. OK, da liege ich nun falsch. Wie kann ich denn den Trick mit dem Achsverhältnis auf meine Problem mit dem mp übertragen? (ja, ich möchte das - auch wenn es keinen Sinn macht - so bringt es mir sicher Erkenntnisgewinn)

Zunächst gilt

m_P^2 = s_0^2 \; (q_{xx} + q_{yy} ).

Wie erweitere ich das auf einen "Konfidenzkreis"? (ab da wüsste ich dann schon was...)

Thomas :confused:

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MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Sonntag, 03.07.2016, 14:38 (vor 1697 Tagen) @ Barny.G

Hi,

Ich dachte nun, dass das dann für alle 2D-Probleme gilt.

Gut, da habe ich mich unglücklich ausgedrückt: Das tut es auch! Die Fehlerellipse gilt für alle 2D-Punkte. Der Ellipsenrand ist demnach die Linie gleichbleibender Wahrscheinlichkeit. Du kannst den mittleren Punktfehler als Radius eines Kreis interpretieren. Dieser Kreis wird die o.g. Ellipse immer enthalten.

Schau Dir mal das Bild und den Begleittext von Höpcke an.

Für den Sonderfall eines Kreises gilt A=B=σx=σy=r und der Radius der entarteten Ellipse wäre r. Der Kreis des mittleren Punktfehlers würde aber zu einem Radius rHelmert=r*√2 führen. Vielleicht ist es dass, was Du meintest?

Viele Grüße
Micha

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Barny.G, Sonntag, 03.07.2016, 16:29 (vor 1697 Tagen) @ MichaeL

Moin moin,

OK:

Gut, da habe ich mich unglücklich ausgedrückt: Das tut es auch!

Ja. Das sollte sicher auch so sein, denn die Statistik ist in dem Fall dann nicht mehr vom Problem (ist ja schon 2D) abhängig. OK, das wäre geklärt ;-)

Der Ellipsenrand ist demnach die Linie gleichbleibender Wahrscheinlichkeit.

Hatte ich noch so gar nicht bedacht - ist aber sehr gut einleuchtend.

Du kannst den mittleren Punktfehler als Radius eines Kreis interpretieren.

Ja, das ist so.

Dieser Kreis wird die o.g. Ellipse immer enthalten.

Habe ich auch so auf dem Schirm (und oft genug gesehen). Und genau deswegen wollte ich eben mal "diese Sicherheitswahrscheinlichkeiten" ausrechnen/angeben. Denn die sollten bei gleicher Redundanz ja größer sein als die der Fehlerellipse - oder?

Schau Dir mal das Bild und den Begleittext von Höpcke an.

Habe ich gemacht - ist da schön erklärt.

Allerdings ist mein Problem noch nicht geklärt: Wie kann ich "diese Sicherheitswahrscheinlichkeiten" für den Kreis (mp) berechnen? Ich suche eigentlich den Ansatz, ähnlich dem vom Niemeier. Oder gibt es da keinen?

Für den Sonderfall eines Kreises gilt A=B=σx=σy=r und der Radius der entarteten Ellipse wäre r. Der Kreis des mittleren Punktfehlers würde aber zu einem Radius rHelmert=r*√2 führen.

Ja, das ist klar - siehe meinen 2.Post ;-)

Vielleicht ist es dass, was Du meintest?

Naja, ähh - nein. Ich suche (immer noch) "diese Sicherheitswahrscheinlichkeiten"...

Leider kann ich mich nicht besser ausdrücken. Vielleicht so: Gibt es eine Möglichkeit die Sicherheitswahrscheinlichkeiten für einen Kreis (Radius=mp) anzugeben?

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Ansatz (nur intuitiv):
Wenn A_F=B_F=σx=σy=r und mp=r*√2 dann ist

A_K^2 = 2 \; A_F^2 \; F_{2,f,1-\alpha}

und somit gilt auch (?)

A_K^2 = 2 \; \left( \frac{m_P}{\sqrt{2}} \right)^2 \; F_{2,f,1-\alpha}

damit ist dann

\frac{A_K^2}{m_P^2} = F_{2,f,1-\alpha}

und wenn dann A_K^2 = m_P^2 gelten soll, dann ist

F_{2,f,1-\alpha} = 1

und damit sieht die Kurve für den m_P-Kreis so

[image]

aus. Kannst Du mir da zustimmen?
-----------------------------------------------

Viele Grüße

Thomas

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MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Sonntag, 03.07.2016, 18:26 (vor 1697 Tagen) @ Barny.G

Hi,

Schau Dir mal das Bild und den Begleittext von Höpcke an.

Habe ich gemacht - ist da schön erklärt.

Dort findest Du doch unter dem Bild auch die Bestätigung für Deine Rechnung. Im Satz Möhle (1963) empfiehlt aus zwei Gründen, die Ellipse mit A*√2 und B√2 als mittlere Fehlerellipse anzusehen, weil sie mit ihrem Wahrscheinlichkeitsfraktil 0,63 [...] besser mit dem entsprechenden Fraktil des linearen mittleren Fehlers 0,68 übereinstimmt.. Die 63 % dort sich ja aus der Skalierung mit √2 abgeleitet.

Viele Grüße
Micha

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Barny.G, Sonntag, 03.07.2016, 20:25 (vor 1697 Tagen) @ MichaeL

Guten Abend Micha,

wie sagt man bei uns "Ente gut - schmeckt gut." Jetzt ist auch der letzte kleine Trübung im Kristall des wahrhaftigen Wissens beseitigt. Nun habe ich die Aussagen, die ich gesucht habe (und vor allem noch einen ganzen Batzen Wissensgewinn dazu ;) ).

Vielen Dank für Deine Geduld und die Teilhabe an Deinem Wissen!

Schönste Grüße!

Thomas.

Ps.: Hättest Du etwas dagegen, wenn ich Dich mal fernmündlich (auf Arbeit) kontaktiere?

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MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Sonntag, 03.07.2016, 20:30 (vor 1697 Tagen) @ Barny.G

Hallo,

Nun habe ich die Aussagen, die ich gesucht habe

Sehr schön. Denk aber bitte dran, dass dies nur für den Fall Kreis-runder Ellipsen wirklich gilt. Für Deinen beschrieben Zweck sollte diese Einschränkung aber nicht ins Gewicht fallen.

Vielen Dank für Deine Geduld und die Teilhabe an Deinem Wissen!

Keine Sorge, ich muss auch noch querlesen und schüttle nicht alles aus dem Ärmel. ;-)

Ps.: Hättest Du etwas dagegen, wenn ich Dich mal fernmündlich (auf Arbeit) kontaktiere?

Nein, Du kannst gern anrufen. Ich rufe im Zweifelsfall zurück, wenn ich nicht im Büro bin.

Schönen Sonntag
Micha

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Barny.G, Sonntag, 03.07.2016, 20:53 (vor 1697 Tagen) @ MichaeL

ja, mache ich morgen mal!

btw: schönes Profilbild ;-)

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