Ausgleichsverfahren nach Gauß-Markov (Geodäsie/Vermessung)

Benjamin @, Mittwoch, 12.09.2018, 17:03 (vor 8 Tagen)

Hallo,

momentan sitze ich an einer Aufgabenstellung zur Ausgleichsrechnung nach Gauß-Markov und habe massiv schwierigkeiten, mit Hilfe der Literatur die Mathematischen Grundlagen auf die Praxis zu beziehen.

Mit Hilfe eines Lasernetz soll im Raum die Positioniergenauigkeit einer Werkzeugmaschine vermessen werden. Die gesuchten Unbekannten sind alle Freiheitsgrade (3x Rotation, 3x Translation).

Wie muss der Beobachtungsvektor aussehen? Einfach nur die Messwerte? Kommt die Information zur ausrichtung der Laserbahnen in den Beobachtungsvektor, oder in den Funktionenvektor?

Der Funktionenvektor Phi müsste die 4x4-Transformations-Matrix sein?
Phi=\begin{pmatrix}& R && V \\ 0 &0& 0 & 1 \end{pmatrix}

Wie stelle ich die Standartabweichung a priori der Gewichtseinheit für die Gewichtsmatrix auf?

Wäre schön, wenn mir jemand in einfachen Worten helfen könnte!
Danke für die Hilfe!

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Ausgleichsverfahren nach Gauß-Markov

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 13.09.2018, 09:16 (vor 7 Tagen) @ Benjamin

Hallo,

Mit Hilfe eines Lasernetz soll im Raum die Positioniergenauigkeit einer Werkzeugmaschine vermessen werden.

Was ist ein Lasernetz?

Die gesuchten Unbekannten sind alle Freiheitsgrade (3x Rotation, 3x Translation).

Also die Parameter eine räumlichen (Helmert-)Transformation?

Einfach nur die Messwerte?

Ja, im Prinzip schon. Der Beobachtungsvektor wird dann aber häufig noch in gekürzter Form benötigt und enthält dann die Widersprüche zwischen den tatsächlichen Beobachtungen und den Werten, die sich aus Deinen Näherungswerten und dem funktionalen Modell ergeben.

Kommt die Information zur ausrichtung der Laserbahnen in den Beobachtungsvektor,

Was sind die Informationen zur Ausrichtung? Der Beobachtungsvektor enthält die Daten, die Du gemessen hast. Wenn Du die Ausrichtung gemessen hast, Du sie also kennst, dann würden diese Informationen in den Beobachtungsvektor kommen. Wenn es aber die Information ist, die Du eigentlich suchst, dann kommen sie in den Unbekanntenvektor (den Du vermutlich mit Funktionenvektor meinst).

Der Funktionenvektor Phi müsste die 4x4-Transformations-Matrix sein?

Jetzt bin ich mir nicht sicher, was Du meinst. Ein Vektor kann letztlich keine Matrix sein. Hier stimmt etwas nicht in Deiner Beschreibung. Üblicherweise hat man ein Modell der Form

A \cdot x = l

worin A die Koeffizeitnenmatrix ist mit den (linearisierten) funktionalen Beziehungen, x der Vektor der unbekannten Parameter und l der Beobachtungsvektor sind.

Wie stelle ich die Standartabweichung a priori der Gewichtseinheit für die Gewichtsmatrix auf?

Die ist frei wählbar und muss nur größer als Null sein. Im einfachsten Fall setzt Du diese zu 1 (eins).

Viele Grüße
Micha

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Tags:
Transformation, Parameterschätzung, Gauß-Markov-Modell

Ausgleichsverfahren nach Gauß-Markov

Benjamin @, Donnerstag, 13.09.2018, 13:17 (vor 7 Tagen) @ MichaeL

Danke für die Antwort.

Nochmal zum praktischen Problem:
Im Arbeitsraum einer Werkzeugmaschine (WZM) sind Lasersensoren angeordnet. Wegen der hohen Ungenauigkeit der Winkelauswertung soll die genaue Ausrichtung der Laserbahnen unbekannt sein. Der Werkzeugkopf der WZM fährt entlang der Laserbahnen und es soll dessen Positioniergenauigkeit aus den Beobachtungen ermittelt werden, quasi als vergleich zwischen gemessener Ist-Position und Soll-Position in der Maschinensteuerung.

Die Unbekannten sollen, wie du sagst, die 6 Parameter der Transformationsmatrix sein, keine Maßsstabsskalierung.


Die Berechnung nach Gauß-Markov habe ich soweit aufgestellt, nur bin ich mir unsicher, wie der Funktionenvektor aussehen muss.

\{L} = \phi (\{X})
Die Beobachtungen werden durch den Funktionenvektor der Unbekannten ausgedrückt.
Unbekanntenvektor: X=(x,y,z,A,B,C)^T
Funktionenvektor: \phi(X)=(\phi_1(X), \phi_2(X), ... , \phi_n(X))^T

Vieleicht auch erstmal an einen leichten eigenen Beispiel erklären? :)

Danke dir

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Ausgleichsverfahren nach Gauß-Markov

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 13.09.2018, 22:34 (vor 7 Tagen) @ Benjamin

Hallo,

Im Arbeitsraum einer Werkzeugmaschine (WZM) sind Lasersensoren angeordnet.

Also reine Distanzmesser etwa Lasertracer oder etwas in der Richtung. Ein reines Trilaterationsnetz also?

Die Unbekannten sollen, wie du sagst, die 6 Parameter der Transformationsmatrix sein, keine Maßsstabsskalierung.

Okay.

Die Berechnung nach Gauß-Markov habe ich soweit aufgestellt, nur bin ich mir unsicher, wie der Funktionenvektor aussehen muss.

Wenn Du also nur Streckenmessungen durchführst, dann ergibt sich eine Position doch über den räumlichen Bogenschnitt. Mehrere Distanzmesser bestimmen also die Abstände zum selben Punkt. Habe ich das korrekt verstanden? Dein Funktionenvektor würde dann einfach der Satz des Pythagoras sein.

Die Beobachtungen werden durch den Funktionenvektor der Unbekannten ausgedrückt.

Korrekt. Die Unbekannten sind dann aber nicht nur die sechs Parameter der Transformation sondern auch die Punkte, die die Distanzmesser eingemessen haben.

Unbekanntenvektor: X=(x,y,z,A,B,C)^T

A, B, C sind die Drehungen?

Vieleicht auch erstmal an einen leichten eigenen Beispiel erklären? :)

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Deinen Messaufbau verstanden habe. Werden die Positionen der WZM von mehren Distanzmessern eingemessen? Sind es verschiedene Punkte an der WZM oder nur ein Punkt der in verschiedenen Stellungen der WZM gemessen wird. Kurzum, Deine Problembeschreibung ist für mich nicht ausreichend. Eine 2D-Skizze würde vermutlich sehr zum Verständnis beitragen. Über einen Bilddienst Deiner Wahl kannst Du diese hier im Forum präsentieren. Ich mach mal den Anfang. Die Dreiecke sind bekannte Punkte und die Kreise sind ein Punkt, der in verschiedenen Positionen der WZM gemessen wurde, wenn diese sich entlang einer Bahn bewegt. Die Striche symbolisieren die Messung. Ist dies Dein Szenario?

[image]


Viele Grüße
Micha

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Ausgleichsverfahren nach Gauß-Markov

Benjamin, Montag, 17.09.2018, 17:10 (vor 3 Tagen) @ MichaeL

Kannst du mir nochmal erklären, warum die Standartabweichung der Gewichtseinheit s_0 1 gesetzt werden kann?
Dann würden die Komponenten den Gewichtsmatrix die Einheit Meter haben?
p_i=s_0/s_i

s_i ist die Standartabweichung der Beobachtungen

Ich werde die Woche eine Abbildung erstellen, damit deutlich wird, was mein Problem ist.
Momentan ist die Aufgabenstellung noch nicht konkret genug.

Ausgleichsverfahren nach Gauß-Markov

Eddi, Montag, 17.09.2018, 17:44 (vor 3 Tagen) @ Benjamin

Hallo,
kleine Korrektur:

p=(s0)^2/(si)^2

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Ausgleichsverfahren nach Gauß-Markov

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Montag, 17.09.2018, 19:23 (vor 3 Tagen) @ Benjamin

Hi,

da man diesen vor allem so wählt, dass man bestimmte Berechnungen vereinfachen kann. Wenn man aber EDV gestützt ausgleicht, ist dieser Vorteil praktisch vernachlässigbar. Das Ergebnis der Ausgleichung wird durch den Faktor nicht verändert.

Grüße
Micha

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