Ausgleichsrechnung (Geodäsie/Vermessung)

DoreenH @, Dienstag, 20.07.2021, 20:26 (vor 64 Tagen)

Hallo,
ich habe jetzt 2 Semester meines Fernstudiums hinter mich gebracht und quäle mich gerade durch das Thema Ausgleichungsrechnung. Unsere Skripte stecken voller Theorie, aber Beispielaufgaben sind in denen kaum zu finden. Ich habe gerade die Themen Fehler- und Kovarianzfortpflanzung und Wiederholungs- und Doppelmessungen durchgearbeitet. FFPf ging ganz gut und hier konnte ich die geforderten Aufgaben lösen. Bei den anderen Themen fehlen mir Beispielaufgaben um zu verstehen wie ich das rechnen soll.
Gibt es Literatur mit diversen Aufgaben oder hat jemand noch Aufgaben aus seinem Studium, die er mir senden kann?

Lieben Dank im Voraus.
Beste Grüße
Doreen Hauswald

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Ausgleichsrechnung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Dienstag, 20.07.2021, 21:15 (vor 63 Tagen) @ DoreenH

Hallo Doreen,

Bei den anderen Themen fehlen mir Beispielaufgaben um zu verstehen wie ich das rechnen soll.

Was sind die anderen Themen?

Gibt es Literatur mit diversen Aufgaben oder hat jemand noch Aufgaben aus seinem Studium, die er mir senden kann?

Beispielaufgaben sollten eigentlich in jedem Lehrbuch zu finden sein. Man benötigt vermutlich gar noch so viele unterschiedliche Aufgaben, da dass Schema immer gleich bleibt. Wo hängst Du denn?

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Ausgleichsrechnung

DoreenH @, Mittwoch, 21.07.2021, 06:43 (vor 63 Tagen) @ MichaeL

Guten Morgen Michael,

ich bin gerade beim Thema Wiederholungs- und Doppelmessungen. Leider kann ich hier kein Bild hinterlegen, sodass ich dir mal 1-2 von meinen Aufgaben senden kann.
1 Beispiel:
Von einem Standpunkt werden zu 4 verschiedenen Zielpunkten V-Winkel und Schrägstrecken gemessen. Von den Zielpunkten sind die Höhen bekannt, Standartabweichung der Zenitwinkel = 2mgon. Zu berechnen ist die ausgeglichene Höhe des Standpunktes und die a-posteriori Standartabweichung.
ZP A V-W 99,675 S 62,456 H 148,782
ZP B 103,920 42,843 145,826
ZP C 97,570 73,554 151,254
ZP D 98,500 36,482 149,329

Ergebnis: 148,4639m / 3,84mm

Ich denke, dass das Rechensystem oftmals ähnlich verläuft. Aber auf das Soll-Ergebnis komme ich nicht. Vielleicht hast du einen guten Tipp für mich.
Besten Dank im Voraus.
Doreen

Ausgleichsrechnung

Eddi, Mittwoch, 21.07.2021, 10:56 (vor 63 Tagen) @ DoreenH

Hallo,

hier erstmal ein Tipp, der Dir öfter helfen sollte:

http://www.in-dubio-pro-geo.de/index.php?file=start&

Hier findest Du einen Online-Rechner für viele Aufgaben, passende Literaturhinweise zu den Themen und auch einige Skripte zum herunterladen.

Die Lösung der genannten Aufgabe hängt meiner Meinung nach davon ab, in welchem
Themenkomplex sie gestellt wurde. Grundprinzip ist aber:

Hs + dH = Hz ; Hs = Hz - dH ; dH = cos Zeta * s',

also für alle 4 Punkte dH berechnen, daraus 4mal Hs und dann mitteln. Je nach Themenkomplex sind dabei aber eventuell die unterschiedlichen Genauigkeiten der dH zu berücksichtigen, d.h. Du musst den Einfluss der Standardabweichung der Zenitwinkel (s' fehlerfrei ?) auf dH für jede der 4 Messungen berechnen:

M(Zeta)=(s'*sin Zeta * Sigma z / (200/pi))*1000 für M(Zeta) in mm,

daraus Gewichte z.B. p=1/M(Zeta)^2 mit p=1 für M(Zeta)= 1 mm

und daraus dann das gewichtete Mittel.

Viel Erfolg!

Eddi

Ausgleichsrechnung

DoreenH @, Mittwoch, 21.07.2021, 20:50 (vor 62 Tagen) @ Eddi

Lieben Dank für deine Hilfe.
Ich muss das nochmal am Wochenende in Ruhe durchgehen. Da ich erst jetzt mit der Ausgleichung angefangen habe, klingt für mich das alles sehr fremd.
Gruß Doreen

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Ausgleichsrechnung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Mittwoch, 21.07.2021, 11:18 (vor 63 Tagen) @ DoreenH
bearbeitet von MichaeL, Donnerstag, 22.07.2021, 10:25

Hallo Doreen,

Leider kann ich hier kein Bild hinterlegen, sodass ich dir mal 1-2 von meinen Aufgaben senden kann.

Du kannst Bilder anfügen, wenn diese bereits im Internet vorliegen. Wenn Du eigene Bilder hier reinstellen möchtest, kannst Du ein Dienst nutzen wie ImgBB oder directupload.

1 Beispiel:
Von einem Standpunkt werden zu 4 verschiedenen Zielpunkten V-Winkel und Schrägstrecken gemessen. Von den Zielpunkten sind die Höhen bekannt, Standartabweichung der Zenitwinkel = 2mgon. Zu berechnen ist die ausgeglichene Höhe des Standpunktes und die a-posteriori Standartabweichung.
ZP A V-W 99,675 S 62,456 H 148,782
ZP B 103,920 42,843 145,826
ZP C 97,570 73,554 151,254
ZP D 98,500 36,482 149,329

Ergebnis: 148,4639m / 3,84mm

Diese Aufgabe lässt sich auf verschiede Weise lösen - mit leicht differierenden Werten. Wenn Ihr die Ausgleichungsrechnung auch schon hattet, wäre dies vermutlich der sinnvollste Weg. Ich gehe aber derzeit davon aus, dass Ihr das noch nicht hattet. Daher meine Alternative: Du kommst mit folgender Überlegung auch zu einem Ziel.

Das funktionale Modell für die Höhe des Punktes lautet:

$ZP = H - s \cdot \cos{V} = H - dH$

Die Höhen H der Punkte A,B,C,D werden also um ein dH reduziert, welches sich aus der Strecke und dem Zenitwinkel ergibt. Du könntest demnach das Dir bereits bekannte Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz anwenden, um die Standardabweichung der einzelnen Höhenunterschiede zu bestimmen. Da nur der Zenitwinkel eine Zufallsvariable darstellt, musst Du das funktionale Modell nur nach dieser partiell ableiten, d.h.,

$\frac{\partial dH}{\partial V} = s \cdot \sin{V}$

Jetzt kannst Du die Jacobimatrix aufstellen und mit den 2 mgon die (diagonale) Varianz-(Kovarianz-)Matrix der Zenitwinkel $\mathbf{C_{Z}}$ bilden, und erhältst dann mit

$\mathbf{C_{dH}} = \mathbf{FC_{Z}F^T}$

die Varianz-(Kovarianz-)Matrix $\mathbf{C_{dH}}$ der dH.

Jetzt kannst Du diese dH's wie eine Wiederholungsmessung/Messreihe ansehen und daraus eine mittlere Höhe bestimmen. Hier könnte man aber auch eine gewichtete Mittelwertbildung nutzen, da die dHs unterschiedliche Genauigkeiten aufweisen. Zum Abschätzen der Standardabweichung würde man erneut auf Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz zurückgreifen.

Wenn Du eine reine Mittelwertbildung annimmst, würde die Höhe aus

$\hat{ZP} = \frac{1}{4}(H_A - dH_A + H_B - dH_B + H_C - dH_C + H_D - dH_D)$

resultieren. Wenn Du eine gewichtete Mittelwertbildung machen willst, müsstest Du die $\frac{1}{4}$ durch die individuellen Gewichte p ersetzen, d.h.,

$\hat{ZP} = p_A (H_A - dH_A) + p_B (H_B - dH_B) + p_C (H_C - dH_C) + p_D (H_D - dH_D)$

mit $p_A + p_B + p_C + p_D = 1$.

Dann entspricht es praktisch einer Ausgleichungsrechnung.

Viele Grüße
Micha

--
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Tags:
Ausgleichsrechnung, Excel, Wiederholungsmessung, Gewichtete Summe, Höhen, Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz

Ausgleichsrechnung

DoreenH @, Mittwoch, 21.07.2021, 20:52 (vor 62 Tagen) @ MichaeL

Lieben Dank für deine Hilfe.
Ich muss das nochmal am Wochenende in Ruhe durchgehen. Da ich erst jetzt mit der Ausgleichung angefangen habe, klingt für mich das alles sehr fremd.
Gruß Doreen

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MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 22.07.2021, 10:23 (vor 62 Tagen) @ DoreenH

Hallo Doreen,

ich habe Deine Aufgabe mal in Excel aufbereitet, sodass Du die Schritte nachvollziehen kannst. Um auf die gezeigte Lösung zu kommen, ist eine gewichtete Summenbildung nötig - ich habe mein vorheriges Posting daher leicht modifiziert. Du findest meine Exceltabelle hier: gewichtete_summe.xlsx

Ich hoffe, das hilft Dir beim Nachvollziehen weiter. Die Matrizenrechnung wäre nicht nötig gewesen, hilft aber ggf. besser beim Abgleich mit den Formeln aus Deinem Vorlesungsskript.

Viele Grüße
Micha

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Tags:
Ausgleichsrechnung, Excel, Wiederholungsmessung, Gewichtete Summe, Höhen

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DoreenH @, Sonntag, 25.07.2021, 17:24 (vor 59 Tagen) @ MichaeL

Hallo Michael,

allerbesten Dank. Ich habe zwar einige Zeit benötigt um deinen Rechenweg nachvollziehen zu können. Ich konnte letztendlich auch den Rechenweg ohne Matrizen ermitteln, so wie wir es jetzt erst einmal machen sollen.

VG DoreenH

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