Helmert-Transformation mit Massstab=1 (Geodäsie/Vermessung)

Eddi, Freitag, 13.08.2021, 10:57 (vor 114 Tagen)

Hallo,

kann mir jemand verraten, wie ich den bekannten Formelsatz zur Helmert-Transformation abändern muss, wenn ich einen vorgegebenen Masstabsfaktor beibehalten will?
Aber bitte keine Matrizen, ich bin über 60 ;-) :-)

Eddi

Avatar

Helmert-Transformation mit Massstab=1

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Freitag, 13.08.2021, 11:20 (vor 114 Tagen) @ Eddi
bearbeitet von MichaeL, Freitag, 13.08.2021, 11:44

Hallo Eddi,

kann mir jemand verraten, wie ich den bekannten Formelsatz zur Helmert-Transformation abändern muss, wenn ich einen vorgegebenen Masstabsfaktor beibehalten will?

Um Punkte zu Transformieren oder um die Transformationsparameter zu bestimmen?

Die Grundgleichung lautet in linearer Form

$X_i = T_x + a x_i - o y_i$ bzw. $Y_i = T_y + o x_i + a y_i$

Hierin sind $a = m \cos{\epsilon}$ und $o = m \sin{\epsilon}$ Hilfsgrößen der Drehung $\epsilon$ und des Maßstabs $m$.

Wenn Du folglich die Transformationsparameter bereits kennst, dann kannst Du diese direkt einsetzen und lokale $x_i$, $y_i$ Koordinaten in ihre globalen $X_i$, $Y_i$ Koordinaten überführen.

Der Tangents ist allgemein definiert als $\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$. Somit kann der Drehwinkel $\epsilon$ unabhängig vom Maßstab ermittelt werden, d.h.,

$\tan{\epsilon} = \frac{\sin{\epsilon}}{\cos{\epsilon}} = \frac{m \sin{\epsilon}}{m \cos{\epsilon}} = \frac{o}{a}$

Damit hast Du alles, was Du benötigst. Da $\epsilon$ nicht vom (geschätzten) Maßstab abhängt, kannst Du bei der Transformation der Punkte einen eigenen Maßstab $m'$ verwenden, d.h., $a' = m' \cos{\epsilon}$, $o' = m' \sin{\epsilon}$.

Umgekehrt ist auch der Maßstab unabhängig vom Drehwinkel. Mit dem Trigonometrischen Pythagoras gilt allgemein

$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha = 1$,

sodass wir direkt den Maßstab aus $a$ und $o$ erhalten zu

$m = \sqrt{a^2 + o^2} = \sqrt{m^2 \left(\sin^2 \epsilon + \cos^2 \epsilon\right)} = \sqrt{m^2}$.

Ich hoffe, dass hilft Dir weiter.

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
Maßstab, Drehwinkel, Helmert-Transformation, lineares Modell, Transformationsparameter

Helmert-Transformation mit Massstab=1

Eddi, Freitag, 13.08.2021, 14:50 (vor 114 Tagen) @ MichaeL

Hallo
und vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Das sollte mir erst einmal weiterhelfen.
Mir geht es schon um die Bestimmung der Transformationsparameter aus Passpunkten und anschließende Transformation von Neupunkten. Ich suche nur eine Möglichkeit, um einen Massstab vorgeben zu können. Wenn ich es richtig verstehe, sind aber die restlichen 3 Parameter unabhängig vom Massstab und ich kann nachträglich einen Massstab von z.B. 1 einführen. Und damit kann ich jetzt weitermachen....
Ein schönes Wochenende wünscht

Eddi

P.S. Deine "Reaktionszeit" ist echt verblüffend :surprised:

Avatar

Helmert-Transformation mit Massstab=1

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Freitag, 13.08.2021, 14:59 (vor 114 Tagen) @ Eddi

Hallo,

Wenn ich es richtig verstehe, sind aber die restlichen 3 Parameter unabhängig vom Massstab und ich kann nachträglich einen Massstab von z.B. 1 einführen.

Ja, so würde ich das sehen.

Dir auch ein erholsames Wochenende
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Helmert-Transformation mit Massstab=1

Eddi, Donnerstag, 19.08.2021, 16:34 (vor 108 Tagen) @ MichaeL

Hallo,

die Sache hat genauso funktioniert!
Aus den Transformationsparametern einer "normalen" Helmertransformation berechnet man
a(für m=1) = a/m
o(für m=1) = o/m
Jetzt nur noch mit a(m=1) und o(m=1) Tx und Ty neuberechnen!

Das praktische hierbei ist, dass ich die Berechnung problemlos an einen schon vorhandenen Berechnungsablauf zur Helmerttransformation anhängen kann, beide Ergebnisse erhalte und diese vergleichen kann!

Eddi

Avatar

Helmert-Transformation mit Massstab=1

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 19.08.2021, 18:09 (vor 108 Tagen) @ Eddi

Super, dass es funktioniert hat.

Beste Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

RSS-Feed dieser Diskussion