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linear

Hallo,

ich stehe aktuell ein wenig mit der 3D-Transformation auf dem Schlauch....

Zuerst möchte ich kurz meine Situation erläutern.
Es handelt sich um ein Bauteil, dass in der Fertigung horizontal produziert wird, und später um alle drei Achsen geneigt in einer anderen Umgebung montiert bzw. eingebunden wird. Bei der Endabnahme des Bauteils werde ich für die Montage willkürlich angeordnete Referenzpunkte auf dem Bauteil platzieren und in der Fertigungslage bestimmen.
Die Endlage des eingebauten Bauteils ist mir bekannt aber nicht die Lage meiner neu gesetzten Referenzpunkte. Alle Messungen werden tachymetrisch ausgeführt.
Jetzt war meine Überlegung dahingehend, die Referenzpunkte über die Abnahmepunkte des Bauteils (Startsystem) unter Berücksichtigung der Fertigungstoleranzen mit einer Herlmerttransformation in das Koordinatensystem der gleichen Punkte in Endlage zu transformieren. Da, die mir zur Verfügung stehenden Programme keine akzeptable Lösung dafür anbieten, habe ich begonnen die 2 Dimensionale Helmerttransformation in MS-Excel um die dritte Dimension zu ergänzen. leider bisher ohne Erfolg.

Hat jemand so etwas schon mal in Excel umgesetzt?

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Hallo Peter,

ich hab soeben dein "Problem" gelesen und ich denke es verstanden zu haben.
Du schreibst, dass du sowohl die Lage deines Bauteiles in der Fertigungslage wie auch in der Endlage kennst. Somit kennst du genau genommen unendlich viele Punkte deines Bauteiles in beiden Lagen.
Die Helmerttransformation wird auch 7-Parameter-Transformation genannt.
Die 7 Parameter sind zum einen die 3 Verschiebevektoren, zum anderen die 3 Rotationswinkel (im Bogenmaß) und ein Skalierungsfaktor. Diesen Skalierungsfaktor gibt es bei deiner Thematik aber nicht, da dein Bauteil ja in beiden Lagen gleich groß ist.
Somit reduziert sich deine Transformation auf 6 Parameter (3 Vektoren und 3 Drehwinkel).
Mal abgesehen von den Fertigungstoleranzen brauchst Du also "nur" 2 Punkte in beiden Lagen zu kennen. Aus diesen 2 Punkten kannst Du somit 6 lineare Gleichungen für die 6 Unbekannten (3 Vektoren und 3 Drehwinkel) aufstellen. Wenn du mehr als 2 Punkte heranziehen willst wird die Sache nur genauer, jedoch musst du danach mit einer Ausgleichsrechnung (Gauss - Methode der kleinsten Quadrate) die Werte "mitteln".

Schau dir den Eintrag in Wikipedia über die Helmert Transformation an. Da sind die Gleichungen dargestellt.

Wenn Du dein Gleichungssystem aus min. 6 Gleichung aufgestellt und gelöst hast, erhälts du die Transformationsparameter (3 Vektoren und 3 Drehwinkel).

Diese Parameter nimmst Du dann her um deine, dir bekannten Referenzpunkte aus der Fertigungslage in die Endlage zu transformieren.

Was die Umsetzung in Excel angeht kann ich dir gerne behilflich sein. Das "größte" Thema ist einfach die Lösung des Gleichungssystem aus 6 Gleichungen. Aber dafür gibt es mathematische Methoden - auch wieder der gute Carl Friedrich Gauss.

Ich hoffe dir damit mal etwas geholfen zu haben.

Grüße
Stefan

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vielen Dank für Deine schnelle Unterstützung.
Du hast meine Situation schon ganz richtig interpretiert. Ich möchte aber dennoch den Maßstab nicht komplett vernachlässigen. Über ihn möchte ich die Fertigungstoleranzen und den Ausdehnungsfaktordurch Temperaturunterschiede gleichmäßig verteilen.

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Hallo Peter,
dann kannst du gerne den Skalierungsfaktor noch mit dazunehmen. Dann brauchst min. 3 bekannte Punkte in beiden Lagen oder 2 und eine Ausdehnung. Wobei unbedingt zu beachten ist, dass der Skalierungsfaktor bei Helmert nur 1-fach eingegeben werden kann. Das heisst, sollte sich dein Bauteil in den 3 Dimensionen unterschiedlich ausdehnen, dann funktioniert Helmert nicht mehr. Dann musst Du mit sog. affinen Transformationen rechnen.

Da muss ich mich aber erst noch etwas einlesen. Die hab ich nicht so aus dem Ärmel parat.

Gruß

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Hallo Stefan,

Aus diesen 2 Punkten kannst Du somit 6 lineare Gleichungen für die 6 Unbekannten (3 Vektoren und 3 Drehwinkel) aufstellen.

Zwei Punkte reichen nicht, um die sechs Parameter zu bestimmen. Zwei Punkte definieren eine Gerade, sodass die Drehung um diese Gerade selbst offensichtlich beliebig sein kann. Folglich kann diese Drehung nicht bestimmt werden und das Gleichungssystem weist einen Defekt auf.

Schau dir den Eintrag in Wikipedia über die Helmert Transformation an. Da sind die Gleichungen dargestellt.

Die Gleichungen bei Wikipedia zur Helmert-Transformation sind nur für den Spezialfall gültig, dass infinitesimale Drehungen vorliegen. Die Aufgabe von Peter verstehe ich aber so, dass sich die Orientierung des Bauteils im verbauten Zustand deutlich von der Orientierung bei der Fertigung unterscheidet, sodass die Drehungen nicht klein genug sind, um cos(ε) ≈ 1 und sin(ε) ≈ ε zu approximieren.

Viele Grüße
Micha

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applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
Transformation, Helmert-Transformation, Räumliche Transformation

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... ja, genau!
die Winkeländerung zwischen Fertigung und Endlage kann durchaus zwischen 0 und 200 gon liegen.
Folglich funktionieren die meisten, im Netz verfügbaren, Tools und Formeln nicht.

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Hallo zusammen,

jetzt gehts aber ans Eingemachte. Ich muss gestehen, dass mir das so nicht bewusst war. Am Freitag treffe ich 2 gute Freunde. Der eine ist Physiker und der andere Mathe-Prof. an der Uni. Die sollen mir die Formeln mal herleiten.

Peter, Du kannst ja schon mal mit Michaels Programm arbeiten.

Falls noch Lust auf weitere Konversation besteht, poste ich hier gerne nach dem Freitag meinen neuen Wissensstand.

Grüße in die Runde
Stefan

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...sehr gerne, ich habe noch nicht die vollständige Lösung!

785 Views

Hallo Stefan,

konntest Du am Freitag noch etwas zum Thema in Erfahrung bringen?

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Hallo lieber Torben,
leider noch nicht, da das Treffen nicht stattgefunden hat. Ich bleib aber dran, kann nur nicht sagen wann ich da verwertbare Ergebnisse vorlegen kann.

Es interessiert mich ja selber, und ich hoffe dass ich in den nächsten 2 Wochen von den beiden Herren ein Ergebnis bekomme, "welches ich auch verstehe"! Ist bei nem Diplom Physiker und nem Mathe Prof nicht wirklich selbstverständlich.

LG
Stefan

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Hallo Peter,

Folglich funktionieren die meisten, im Netz verfügbaren, Tools und Formeln nicht.

Die Gleichungen, die in CoordTrans verwendet werden, sind im Artikel Zur Bestimmung der Parameter einer räumlichen Affintransformation beschrieben. Ein direktes Lösungsverfahren, wie dies im 2D-Fall existiert, gibt es nicht, da das Gleichungssystem nicht-linear ist. Der Solver in Excel könnte aber, wenn Du weiterhin an Excel festhalten willst, eine Lösung liefern. Ideal wäre es, wenn in Excel eine Singulärwertzerlegung existieren würde oder diese per VB bereitgestellt werden kann.

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

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Hallo Peter,

Hat jemand so etwas schon mal in Excel umgesetzt?

Nein, nicht in Excel aber in Java. Im Programm JAG3D gibt es das Modul zur Koordinatentransformation CoordTrans. Dies erlaubt Transformationen in 1D, 2D und 3D, wobei die Parameter frei wählbar sind. In Deinem Fall würde ich vermutlich auf die Bestimmung eines Maßstabs verzichten, da durch die Änderung der Orientierung wohl die Dimension des Bauteils nicht verändert wird. JAG3D mit CoordTrans kannst Du hier kostenfrei herunterladen.

[image]

Da das Gleichungssystem nicht-linear ist, gibt es im räumlichen Fall keine direkte Lösung. In Excel könnte man, wenn Du es selbst implementieren willst, auf den Solver zurückgreifen.

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
Transformation, Helmert, JAG3D, Coordrans

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Hallo Michael,

in deinem Programm scheint es die 3 Ausdehnungsparameter zu geben. Das wäre doch DIE Lösung.

Was versteht dein Program unter der "Scherung"? Ist das rein auf die Geodäsie bezogen und deutet in Richtung UTM Gitter Projektion, oder wie muss ich es verstehen?

Stefan

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Hallo Stefan,

in deinem Programm scheint es die 3 Ausdehnungsparameter zu geben. Das wäre doch DIE Lösung.

CoordTrans erlaubt eine räumlichen Transformation mit bis zu zwölf Parametern (Affine Transformation). Zu diesen zwölf Parametern zählen auch drei Skalierungen. Diese müssen jedoch nicht alle mitbestimmt werden. Es ist demnach möglich, nur einen einzigen Maßstab zu schätzen (mx = my = mz).

[image]

Was versteht dein Program unter der "Scherung"? Ist das rein auf die Geodäsie bezogen und deutet in Richtung UTM Gitter Projektion, oder wie muss ich es verstehen?

Unter Scherung ist die hier eher die Abweichung von der Orthonalität der Koordinatenachsen zu verstehen. Wenn bspw. im horizontalen Fall die X und Y-Achse nicht senkrecht aufeinander stehen.

Viele Grüße
Micha

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applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
Transformation, Maßstab, Scherung, Affine Transformation

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Guten Morgen,

die räumliche Transformation mit dem Tool liefert bei meinen Testdaten die richtigen Werte.

Allerdings kann ich aktuell in meiner Exceltabelle nur den Eulerwinkel der Rotation um die Z-Achse bestätigen.

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Guten Morgen Peter,

die räumliche Transformation mit dem Tool liefert bei meinen Testdaten die richtigen Werte.

Das hast Du doch nicht angezweifelt, oder? ;-) Weitere Testdatensätze aus der Literatur findest Du u.a. hier.

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

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