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Alte Frage, neue Fragestellerin :-) (Geodäsie/Vermessung)

B'Elanna, Thursday, 11.01.2024, 15:53 (vor 92 Tagen)

Hallo, Forum,

ich bin "wieder so ein Geocacher, der sich mit https://coord.info/GC3RHDT herumschlägt"*, weil dieses Fragezeichen in der Homezone doch schon ein bisschen nervt.

Vor nicht ganz zehn Jahren hat hier schonmal eine Userin dazu Hilfe erhalten, denn ich habe einen alten Thread gefunden ( http://forum.diegeodaeten.de/index.php?id=4623 ) - leider sind die Bilder nicht mehr da und der Link zu dem genannten Excel-Solver führt auch ins Leere. Insofern kann ich da manches nicht mehr nachvollziehen, weil Informationen fehlen, und anderes habe ich nicht verstanden. Da der Thread auch noch gesperrt ist, kann ich dort auch nicht antworten, sondern muss hier was neues aufmachen.

Den Satz des Pythagoras kenne ich natürlich (auch wenn der Mathe-LK schon 30 Jahre her ist) und so grundsätzlich weiss ich auch, wie ein GPS funktioniert. Nur die Feinheiten..... ^^ Ich bin halt kein Informatiker oder sonstwie technisch bewandert, nur eine gelernte Krankenschwester und Mama (nur damit ihr wisst, was ihr bei mir voraussetzen könnt - oder eher nicht). Das andere Ding ist noch, dass ich auf meinem Lappie kein Original-MS-Office-Paket habe, sondern nur OpenOffice und LibreOffice. Vielleicht funktioniert das Solver-Skript ja damit auch?


Ich habe folgendes verstanden:

2012 7 30 0 15 0.0000000000

sind wohl die Ist-Daten meines GPS-Receivers - es ist also der 30.7.2012, ganz genau 15 Uhr.

Die Signale der vier Satelliten lassen sich wohl wie folgt zerlegen:
PG04 -> Name des Satelliten
9684.579133 -12365.985056 21179.273623 -> aktuelle Position des Satelliten
12 7 30 0 14 59.9282337034 -> Sendezeitpukt des Signals

Und bei dem mittleren Teil, den 3 Posi-Daten, fehlt mir Wissen. Der eine Wert ist wohl die Länge, der andere die Breite, und der letzte die Höhe (über NN?) - aber welcher Wert ist welcher? Und wie ist die Einheit? Km? Und wie verarbeite ich diese Daten in 3D? Auf einer Karte in 2D Schnittpunkte von Linien zu berechnen kriege ich gerade noch hin - aber wenn dann noch die Höhe dazukommt, hört's bei mir auf, weil ich nicht durch die Luft zeichnen kann. Zumal die errechneten Abstände jeweils Kugeln rund um den Satelliten ergeben - wie berechnet man die Schnittpunkte von Kugeln?

Hat jemand ganz viel Geduld mit mir und führt mich da Schritt für Schritt durch? Ich würde es gern verstehen.

Hilfreich wäre auch, wenn dieser Excel-Solver woanders zu finden wäre, oder der Link, auf den Beitrag 4634 Bezug nimmt.

Oder hat jemand keine Geduld mit mir, möchte aber trotzdem helfen, dann kann er mir natürlich auch gern gleich die Lösung sagen ;-) Auch dafür wäre ich mehr als dankbar!

Es eilt auch nicht. Dieser Cache liegt jetzt schon soooooo lange da herum, da kommt es auf ein paar Wochen nicht an.

Ich danke schonmal sehr für alle Hilfe, die mir hier zuteil wird, und freue mich, wenn ich noch was lernen kann.

Herzliche Grüße aus Konz,

B'Elanna

*) Da das Listing des Caches für nicht bei geocaching.com angemeldete User nicht einsehbar ist, wie ich gerade feststellen durfte, kopiere ich den Listingstext mal hier unterhalb der Linie hinein.

____________________________________________________________________________________________

Wie funktioniert eigentlich GPS?


Ihr spielt die ganze Zeit mit milliardenschwerer Militärtechnologie herum … dafür habt ihr meist ein kleines Gerät welches auch selbstständig sagt wo ihr euch grade befindet …

Nur wie funktioniert das eigentlich?!

Natürlich … da oben … da sind Satelliten die sagen euch das … aber wie genau?!
Findet es heraus – nachfolgendend findet Ihr vier empfangene Signale von GPS Satelliten – findet raus wo diese euch hinführen …

Zur weiteren Info:

• Wir verwenden natürlich das NAVSTAR GPS, SBAS Systeme wie EGNOS o.ä. werden nicht verwendet.
• Vergesst den Header - das ist nur reine Optik
• Vergesst Themen wie Dopplereffekt, Multipath - es gibt keine Signalstörungen
• Unser GPS Receiver besitzt eine Atomuhr - die Uhr ist bereits vollkommen synchron
• Es gibt keine Zeitunterschiede - d.h. alle Zeiten sind die selbe Zeitzone
• WGS-84 wird als Koordinatensystem verwendet
• Ausbreitungsgeschwindigkeit und –richtung werden als gradlinig angenommen
• Ausbreitungsgeschwindigkeit Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 299 792 458 m/s


## 1699 0.00000000 900.00000000 56137 0.0000000000000
+ 31 G01G02G03G04G05G06G07G08G09G10G11G12G13G14G15G16G17
+ G18G19G20G21G22G23G25G26G27G28G29G30G31G32 0 0 0
+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
++ 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
%c cc cc ccc ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc
%f 1.2500000 1.025000000 0.00000000000 0.000000000000000
%i 0 0 0 0 0 0 0 0 0
/* RAPID ORBIT COMBINATION FROM WEIGHTED AVERAGE OF:
/* cod emr esa gfz jpl ngs sio usn
2012 7 30 0 15 0.0000000000
PG04 9684.579133 -12365.985056 21179.273623 12 7 30 0 14 59.9282337034
PG17 21100.386587 -15160.775105 5040.165298 12 7 30 0 14 59.9229810491
PG23 18829.462534 4258.585786 18451.696713 12 7 30 0 14 59.9319392853
PG32 8436.336527 21103.245374 14333.803004 12 7 30 0 14 59.9228812318

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Wie funktioniert eigentlich ... GPS

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Thursday, 11.01.2024, 23:23 (vor 92 Tagen) @ B'Elanna

Hallo B'Elanna,

zunächst gleich vorweg die Motivation an Dich, dass der vor 10 Jahren beschriebene Weg grundsätzlich funktioniert.

[image]

Du hast folgende Informationen zur Verfügung

PG04  9684.579133 -12365.985056 21179.273623 12  7 30  0 14 59.9282337034
PG17 21100.386587 -15160.775105  5040.165298 12  7 30  0 14 59.9229810491
PG23 18829.462534   4258.585786 18451.696713 12  7 30  0 14 59.9319392853
PG32  8436.336527  21103.245374 14333.803004 12  7 30  0 14 59.9228812318

Von jedem der vier Stelliten hast Du die Position gegeben in einem erdfesten Koordinatensystem. Die Einheit der Koordinaten ist Kilometer. Das Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Massenschwerpunkt der Erde. Die Z-Achse entspricht der Rotationsachse, die X-Achse verläuft in der Äquatorialebene durch den Nullmeridian bei Greenwich und Y steht senkrecht auf X und Z. Es ist demnach ein 3D-Koordinatensystem, dass alle Positionen auf der Erde in einem System darstellen kann. Neben diesen X, Y, Z Koordinaten sind geographische Koordinaten gebräuchlich, d.h. Länge und Breite. Die X, Y und Z Werte können in Länge und Breite verlustfrei konvertiert werden und dann bspw. in Deinem GPS-Empfänger eingestellt werden. Hierzu gibt es Formeln und auch freie Onlinetools im Netz.

Neben den Positionen der Satelliten hast Du auch den jeweiligen Zeitstempel, der Dir anzeigt, wann der Satellit das Signal abgeschickt hat. Du kennst auch die Empfangszeit des GPS-Empfängers. Die Signale sind also am 30.07.2012 um kurz vor 00:15 Uhr abgeschickt worden und waren damit weniger als eine Sekunde unterwegs zum Empfänger, der dieses Signal exakt um 00:15 Uhr empfangen hat. Aus den einzelnen Zeitdifferenzen ΔT und der Lichtgeschwindigkeit c = 299.792,458 km/s kannst Du den Abstand bestimmen. Es gilt einfach $s = c \cdot ΔT$. Nun kennst Du die Entfernung vom Empfänger zum jeweiligen Satelliten.

Nehmen wir an, Du kennst die Koordinate des Empfängers bereits, dann könntest Du die Strecken einfach über den Pythagoras bestimmen durch

$s' = \sqrt{\left(X-X'\right)^2 + \left(Y-Y'\right)^2 + \left(Z-Z'\right)^2}$

berechnen, wobei X', Y' und Z' die Koordinaten des Empfängers sein sollen, und wir einen Uhrfehler hier vernachlässigen dürfen.
Wenn Du nun s' durch Deine gemessenen Strecken s ersetzt, dann hast Du ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen, welches es nach den gesuchten Koordinaten X', Y' und Z' aufzulösen gilt.

Wenn Dir der Weg mit Papier und Taschenrechner zu zeitaufwendig ist, kannst Du nun mit einem Solver arbeiten. Das muss nicht Excel sein. Es könnte auch Octave, Scilab, Matlab oder ein anderes Numeriktool sein. Wichtig ist, dass dieser auch nichtlineare Probleme bearbeiten kann. LibreOffice scheint dies zu können.
Ziel ist es hierbei, die Abweichungen v = s-s' durch Modifikation von X', Y' und Z' so klein zu bekommen, dass die Quadratsumme ein Minimum wird, d.h. $\sum{v^2} \rightarrow \min$. Hast Du das Minimum erreicht, kennst Du die Position, die Du dann in Länge und Breite konvertieren kannst. Ich erhalte X' = 4108,9...km, Y' = 472,0...km und Z' = 4839,3...km.

Alternativ zum vorgeschlagenen numerischen Lösungsansatz kannst Du dem Hinweis auf Bancroft folgen. Dieser bezieht sich auf den Artikel An Algebraic Solution of the GPS Equations und präsentiert eine algebraischen - also einen direkten - Lösungsansatz für dieses Problem. Im Netz gibt es den Artikel u.a. auch hier.

Hilft Dir das weiter?

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
GeoCaching, GPS, GNSS, GC3RHDT, numerische Lösung, algebraische Lösung, Räumlicher Bogenschnitt, Bancroft

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Wie funktioniert eigentlich ... GPS

B'Elanna, Friday, 12.01.2024, 19:20 (vor 91 Tagen) @ MichaeL

Hallo, Micha,

vielen Dank für Deine lange und ausführliche Antwort.
Also, ja, das hilft mir schon so ein bisschen.

Bis hierher:

Wenn Du nun s' durch Deine gemessenen Strecken s ersetzt, dann hast Du ein Gleichungssystem mit > vier Gleichungen, welches es nach den gesuchten Koordinaten X', Y' und Z' aufzulösen gilt.

habe ich es sogar verstanden! *stolz bin*
Faszinierend fand ich dabei, dass der Satz des Pythagoras auch mit mehr als zwei Summanden unter der Wurzel funktioniert. Das war mir komplett neu.

Aber hier

Ziel ist es hierbei, die Abweichungen v = s-s' durch Modifikation von X', Y' und Z' so klein zu > bekommen, dass die Quadratsumme ein Minimum wird, d.h. ∑v2→min. Hast Du das Minimum erreicht, > kennst Du die Position, die Du dann in Länge und Breite konvertieren kannst.

war ich dann komplett raus.

Aber ich weiss jetzt zumindest mal den nächsten Schritt, nämlich für alle vier Satelliten die Entfernungen berechnen und daraus ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen erstellen.
Der erste Wert in den Satelliteninformationen ist immer X, der zweite Y und der dritte Z?

Die Links werde ich mir mal in Ruhe ansehen, besonders den zu geodesy.noaa.gov,
und dann werde ich wohl ein paar Blatt Papier, einen langen Bleistift, einen guten Radiergummi und einen kompetenten wissenschaftlichen Taschenrechner mit mehr als 8 Nachkommastellen brauchen.
Ich hoffe, dass ich bis Ende Januar Ergebnisse vorweisen kann - versprechen kann ich es nicht.
Ich melde mich wieder.

Auf jeden Fall schonmal vielen Dank bis hierher.
Und Danke für die Ermutigung zu Beginn, auch wenn Du die Lösung nicht unbedingt hättest abschneiden müssen ;-)


Ach so, nochwas:
Ich habe beim Erstellen des Themas angeklickt, dass ich über Antworten benachrichtigt werden möchte.
In der Benachrichtigungsmail habe ich dann allerdings fatalerweise auf den unsubscribe-Link geklickt in der Annahme, es sei der Link zum Thread (ja, ich weiss, erst lesen, dann klicken.... ich habs es instant bereut).
Jetzt bin ich unsubscribed und finde das extrem doof - wie kann ich den Thread denn wieder abonnieren?

Liebe Grüße und vielen Dank schonmal bis hierher,
B'Elanna

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Wie funktioniert eigentlich ... GPS

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Saturday, 13.01.2024, 11:43 (vor 91 Tagen) @ B'Elanna

Hallo,

Faszinierend fand ich dabei, dass der Satz des Pythagoras auch mit mehr als zwei Summanden unter der Wurzel funktioniert. Das war mir komplett neu.

Du kannst den Satz nicht nur im $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$ sondern allg. im $\mathbb{R}^n$ anwenden. Mit der geometrischen Deutung wird es aber ab $n > 3$ sicher herausfordernd. Eine typische(?) Anwendung, die mir gerade einfällt, ist die Berechnung der Länge eines Vektors.

Ziel ist es hierbei, die Abweichungen v = s-s' durch Modifikation von X', Y' und Z' so klein zu > bekommen, dass die Quadratsumme ein Minimum wird, d.h. ∑v2→min. Hast Du das Minimum erreicht, > kennst Du die Position, die Du dann in Länge und Breite konvertieren kannst.

war ich dann komplett raus.

Dies ist, wie gesagt, der numerische Weg. Hier würde ich Dir auch empfehlen, einen Solver einzusetzen. Du kannst Dir jeden gemessenen Abstand s zum Satelliten als einen Radius einer Kugel vorstellen. Der Satellit ist der Kugelmittelpunkt. Wenn Du nur den Radius (also den Abstand) zu einem einzigen Satelliten kennst, dann kannst Du Deine Position nicht eindeutig bestimmen. Du kannst lediglich sagen, dass Du Dich irgendwo auf der Kugeloberfläche befindest. Kennst Du die Strecken (Radien) zu zwei Satelliten, dann hast Du zwei Kugeln, die Du verschneidest. Hierdurch begrenzt Du den Lösungsraum. Deine Position muss nun sowohl auf der Kugel des ersten Satelliten als auch auf der Kugel des zweiten Satelliten liegen. Wenn sich zwei Kugeln schneiden, dann entsteht ein Schnittkreis - auf diesem liegt Deine Position. Die Position ist wiederum nicht eindeutig. Durch Verschneiden der Kugel des dritten Satelliten schränkst Du die Lösung für Deine Position auf zwei Punkte ein. Welche der beiden Lösungen die richtige ist, lässt sich unter Umständen durch die Lage der Punkte ermitteln. Liegt einer der beiden Punkte nicht auf der Erde, ist offensichtlich der andere Punkt Deine gesuchte Position. Alternativ kannst Du nun einen vierten Satelliten nutzen, dessen Radius nur zu einer der beiden Positionen passt - die Deines Empfängers. Dies ist die geometrische Deutung Deines Problems. In der Wirklichkeit benötigst Du den vierten Satelliten zwingend, um den Uhrfehler zu bestimmen. Bei dem GeoCache darf dieser Umstand aber wohl vernachlässigt werden.

Solltest Du es also wirklich von Hand ausrechnen wollen, dann darfst Du bei der Berechnung nur drei Satelliten verwenden. Der vierte ist dann nur dazu da, um die korrekte Position zu bestimmen. Mit dem Tool von NOAA kannst Du die Position, die derzeit im Listing steht, in geozentrische X, Y, Z-Werte konvertieren. Deine geschätzte Position sollte da in der Nähe liegen.

=============================================================
           Latitude           Longitude      Ellip_Ht   Ellipsoid
 INPUT =   N494054.959        E0063431.739   0.0        GRS80    
 =============================================================


  X (Meters)    Y (Meters)    Z (Meters)    ELLIPSOID
  ------------- ------------- ------------- ---------

   4107701.4528   473496.1399  4839973.8348 GRS80

Der erste Wert in den Satelliteninformationen ist immer X, der zweite Y und der dritte Z?

Ja. Beispiel:

PG04  9684.579133 -12365.985056 21179.273623 12  7 30  0 14 59.9282337034

Die einzelnen Elemente in einer Zeile sind:

  • Bezeichnung des Satelliten,
  • X in Kilometer,
  • Y in Kilometer,
  • Z in Kilometer,
  • Jahr,
  • Monat,
  • Tag,
  • Stunde,
  • Minute und
  • Sekunde.

Und Danke für die Ermutigung zu Beginn, auch wenn Du die Lösung nicht unbedingt hättest abschneiden müssen ;-)

Habe ich nicht. Im Checker-Ergebnis steht diese tatsächlich nicht noch einmal.

Ich habe beim Erstellen des Themas angeklickt, dass ich über Antworten benachrichtigt werden möchte.

Das sollte wieder funktionieren.

Schönes Wochenende
Micha

--
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Tags:
GPS, Räumlicher Bogenschnitt

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