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Bündelblockausgleich (BBA): Kovarianzmatrix der geschätzten (Geodäsie/Vermessung)

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Dienstag, 16.04.2019, 22:11 (vor 129 Tagen) @ Alexander Brzank

Hallo,

Mit einer Messkamera werden diverse Bilder aufgenommen, welche die optischen Messmarken des Objektes und der Längenmaßstäbe beinhalten. In jedem Messbild werden durch einen Ellipsenfit der jeweilige Mittelpunkt der abgebildeten Kreismarken bestimmt. Aus der Ausgleich erhält man ebenfalls die Kovarianzmatrix für den Ellipsenfit (Submatrix für Ellipsenmittelpunkt).

Okay. Bitte beachte, dass der Ellipsenmittelpunkt nur genähert dem Kreismittelpunkt entspricht (näheres kannst Du dem Lehrbuch von Luhmann entnehmen, dort ist auch eine sehr anschauliche Graphik enthalten). Deine Kovarianzmatrix wird diesem Umstand kaum Rechnung tragen. Da alle Bilder mit der selben Kamera registriert werden, sind die resultierenden Ellipsenmittelpunkte strenggenommen auch korreliert.

Aufgrund unserer Erfahrung glauben wir, dass die Ursache in einem Modellfehler des funktionalen Modells zu verorten ist.

Schätzt Ihr die Parameter der inneren Orientierung in-situ mit?

Frage 1: Gibt es irgendwo ein einfaches Rechenbeispiel zum Nachvollziehen der notwendigen Schritte? Ich habe es zum Beispiel mit wiederholenden Einzelmessungen (z.B. eine fiktive Temperaturmessung eines ersten Objektes mit einem analogen Thermometer mit 5 Messungen und eine davon unabhängige Temperaturmessung eines zweiten Objektes mit einem hochgenauen digitalen Thermometer ebenfalls mit 5 Messungen)

Die Gleichungen sind recht simple, vgl. Varianzkomponentenschätzung (ganz am Ende).

Ein Quick-And-Dirty Matlab-Script hilft Dir vielleicht beim Nachvollziehen. 5 Messwerte werden nicht ausreichen, um ein sinnvolles Beispiel zu erzeugen.

clear all
close all
format long g
clc
 
 
% Messung mit Instrument 1 (sigma = 0.050)
m1 = 200;
L1 = 0.050 .* randn(m1,1);
% Messung mit Instrument 2 (sigma = 0.001)
m2 = 350;
L2 = 0.001 .* randn(m2,1);
 
% Kovarianzmatrix beider Messungen (wobei wir 'faelschlicherweise' von gleich-genauen Beobachtungen ausgehen)
 
Qll_1 = [eye(m1, m1)    zeros(m1, m2)
      zeros(m2, m1)  zeros(m2, m2)];
 
Qll_2 = [zeros(m1, m1)  zeros(m1, m2)
      zeros(m2, m1)    eye(m2, m2)];  
 
% Kombination
L   = [L1; L2];
Qll = Qll_1 + Qll_2;
 
% Gewichtmatrix
P = diag( 1./diag(Qll) );
 
% Schaetzwert ermitteln mit Ausgleichung (Mittelwertbildung)
A = ones(m1 + m2, 1);
N = A' * P * A;
n = A' * P * L;
Qxx = 1/N;
x = Qxx * n;
 
Q_ll = A * Qxx * A';
Q_vv = Qll - Q_ll;
R = Q_vv * P;
v = A*x - L;
 
% Varianzfaktoren (gesamt und einzeln)
sigma2   = (v' * P * v) / trace(R);
sigma2L1 = (v' * P * Qll_1 * P * v) / trace(R * Qll_1 * P);
sigma2L2 = (v' * P * Qll_2 * P * v) / trace(R * Qll_2 * P);
 
disp( [sqrt(sigma2) sqrt(sigma2L1)  sqrt(sigma2L2)] );

Eine mögliche Ausgabe ist (variiert aufgrund der Zufallszahlen):

0.0323391853130269        0.0536104423244563       0.00105111294199859

Der erste Wert ist der globale a-posteriori Varianzfaktor und die beiden anderen beziehen sich auf L1 bzw. L2. Beide Komponenten passen ganz gut zu den Sollwerten 0.050 und 0.001.

Eigentlich sollen die Messunsicherheiten der Maßstäbe beibehalten und entsprechend fortgepflanzt werden.

Das werden sie ja - nur nicht in die von Dir präferierte Richtung. Wenn ich eine Präzisionsnetz mit einem Tachymeter bestimme und anschließend mit GNSS Passpunkte für eine Transformation bestimme, dann verliere ich bei der Transformation auch die hohe Genauigkeit des eigentlichen Tachymeternetzes.

Aus der jeweiligen BBA mit Varianzkomponentenschätzung könnten sich ja auch deutliche kleinere Varianzen ergeben, wenn die Maßstäbe gut zueinander passen. Die Genauigkeitsabschätzung soll aber von den extern ermittelten Messunsicherheiten ausgehen. Deshalb die Frage, ob folgendes Vorgehen legitim ist.

Die Varianzkomponentenschätzung ist auch nur ein Werkzeug. Keiner zwingt Dich, es zu nutzen. Wenn es Deine Anforderungen nicht erfüllt, nutze es nicht. Auf einen Versuch kannst Du es ja ankommen lassen und dann entscheiden, ob es sich für Deine Zwecke eignet. Letztlich ist auch die Varianzkomponentenschätzung nur ein Modell. Folglich sind die Ergebnisse auch nur so gut, wie das Modell mit der Wirklichkeit übereinstimmt.


Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
Varianzkomponentenschätzung, Kovarianzmatrix, Bündelblockausgleichung


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