Hallo Marc,

ich gehe mal davon aus, dass Du nicht die Flächenformel sondern die Abschätzung zu Genauigkeit wissen willst. Die Fläche ergibt sich aus:

$2F = \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1}) \cdot (x_i - x_{i+1})$,

dies ist identisch mit

$2F = x_1y_2 - x_2y_1 + \dots + x_ny_1 - x_1y_n$.

Nun gilt es, die partiellen Ableitungen nach allen Koordinatenkomponenten zu bilden. Für den ersten Punkt lauten diese, wobei ich hier mal den Faktor 2 unberücksichtigt lasse, - dieser muss am Ende dann wieder hinzugefügt werden, da Du sonst die Varianz der doppelten Fläche bestimmst -,

$\frac{\partial F}{\partial x_1} = y_2 - y_n$ und $\frac{\partial F}{\partial y_1} = x_n - x_2$. Analog sind die übrigen zu bilden.

Die Anwendung des allg. Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetzes $\mathbf{FCF}^\mathrm{T}$ ergibt für

$\mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x_1} & \frac{\partial F}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F}{\partial y_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 - y_n & x_n - x_2 & \cdots & x_{n-1} - x_1\end{pmatrix} $.

Wenn Du nun das Matrizenprodukt $\mathbf{FCF}^\mathrm{T}$ bildest, wobei

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} \sigma^2_{x1} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sigma^2_{y1} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma^2_{y_n} \\ \end{pmatrix}$

die Kovarianzmatrix Deiner Koordinaten ist, dann erhältst Du für die Varianz der doppelten Fläche (da ich den Faktor 2 nicht mitgenommen habe, um die Ausdrücke zu vereinfachen)

$\mathbf{FCF}^\mathrm{T} = \sigma^2_{x1}(y_2 - y_n)^2 + \sigma^2_{y1}(x_n - x_2)^2 + \cdots$.

Sind $\sigma^2_{x1} = \sigma^2_{y1} = \sigma_1^2$ usw. folgt direkt

$\mathbf{FCF}^\mathrm{T} = \sigma_1^2\left((y_2 - y_n)^2 + (x_n - x_2)^2\right) + \cdots + \sigma_n^2\left((y_1 - y_{n-1})^2 + (x_{n-1} - x_1)^2\right)$.

Gilt sogar $\sigma^2_{x1} = \sigma^2_{y1} = \cdots = \sigma^2_{yn} = \sigma^2$ folgt weiterhin

$\mathbf{FCF}^\mathrm{T} = \sigma^2\left((y_2 - y_n)^2 + (x_n - x_2)^2 + \cdots + (y_1 - y_{n-1})^2 + (x_{n-1} - x_1)^2\right) = \sigma^2 \sum_{i=1}^n \left((y_{i+1} - y_{i-1})^2 + (x_{i-1} - x_{i+1})^2\right)$

Dies entspricht Deiner gezeigten Gleichung, wobei Du den Faktor zwei noch berücksichtigen musst, da die Trapezformel die doppelte Fläche liefert.

Viele Grüße
Micha

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Kovarianzmatrix, Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz, Flächenberechnung, Gaußsche Trapezformel, Trapezformel