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Genauigkeit Gaußsche Trapezformel (Geodäsie/Vermessung)
Hallo Marc,
ich gehe mal davon aus, dass Du nicht die Flächenformel sondern die Abschätzung zu Genauigkeit wissen willst. Die Fläche ergibt sich aus:
$2F = \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1}) \cdot (x_i - x_{i+1})$,
dies ist identisch mit
$2F = x_1y_2 - x_2y_1 + \dots + x_ny_1 - x_1y_n$.
Nun gilt es, die partiellen Ableitungen nach allen Koordinatenkomponenten zu bilden. Für den ersten Punkt lauten diese, wobei ich hier mal den Faktor 2 unberücksichtigt lasse, - dieser muss am Ende dann wieder hinzugefügt werden, da Du sonst die Varianz der doppelten Fläche bestimmst -,
$\frac{\partial F}{\partial x_1} = y_2 - y_n$ und $\frac{\partial F}{\partial y_1} = x_n - x_2$. Analog sind die übrigen zu bilden.
Die Anwendung des allg. Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetzes $\mathbf{FCF}^\mathrm{T}$ ergibt für
$\mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x_1} & \frac{\partial F}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F}{\partial y_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 - y_n & x_n - x_2 & \cdots & x_{n-1} - x_1\end{pmatrix} $.
Wenn Du nun das Matrizenprodukt $\mathbf{FCF}^\mathrm{T}$ bildest, wobei
$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} \sigma^2_{x1} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sigma^2_{y1} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma^2_{y_n} \\ \end{pmatrix}$
die Kovarianzmatrix Deiner Koordinaten ist, dann erhältst Du für die Varianz der doppelten Fläche (da ich den Faktor 2 nicht mitgenommen habe, um die Ausdrücke zu vereinfachen)
$\mathbf{FCF}^\mathrm{T} = \sigma^2_{x1}(y_2 - y_n)^2 + \sigma^2_{y1}(x_n - x_2)^2 + \cdots$.
Sind $\sigma^2_{x1} = \sigma^2_{y1} = \sigma_1^2$ usw. folgt direkt
$\mathbf{FCF}^\mathrm{T} = \sigma_1^2\left((y_2 - y_n)^2 + (x_n - x_2)^2\right) + \cdots + \sigma_n^2\left((y_1 - y_{n-1})^2 + (x_{n-1} - x_1)^2\right)$.
Gilt sogar $\sigma^2_{x1} = \sigma^2_{y1} = \cdots = \sigma^2_{yn} = \sigma^2$ folgt weiterhin
$\mathbf{FCF}^\mathrm{T} = \sigma^2\left((y_2 - y_n)^2 + (x_n - x_2)^2 + \cdots + (y_1 - y_{n-1})^2 + (x_{n-1} - x_1)^2\right) = \sigma^2 \sum_{i=1}^n \left((y_{i+1} - y_{i-1})^2 + (x_{i-1} - x_{i+1})^2\right)$
Dies entspricht Deiner gezeigten Gleichung, wobei Du den Faktor zwei noch berücksichtigen musst, da die Trapezformel die doppelte Fläche liefert.
Viele Grüße
Micha
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