Standardabweichung (Geodäsie/Vermessung)

artek, Sonntag, 26.08.2018, 19:31 (vor 83 Tagen)

Guten Abend Leute.
Ich hänge grad an zwei Aufgaben, auf die ich leider keine Antwort habe.

1. Sie haben einen Tachymeter zu einem Punkt in 192m Entfernung die HZ Richtung mit einer Genauigkeit von 2mgon gemessen. Berechnen Się wie genau der Zielpunkt damit senkrecht zur Ziellinie bestimmt.

Diese Aufgabe bin ich mit der b/r=alpha/rho
angegangen. Raus kam für b = 6mm, nur wie gehe ich mit dem "senkrecht" um?

2. Sie haben mit einem Tachymeter, welcher eine HZ Richtungsgenauigkeit von 1 mgon aufweist, zunähst ein Fernziel zur bestimmung der Orientierung und dann einen NP in 250m Entfernung angezielt. Der Zielpunkt soll senkrecht zur Ziellinie maximal 3mm Abweichung haben. Wie viele Sätze müssen Sie messen, um diese Anforderung einzuhalten.(Die Koordynator vom Standpunkt und vom Fernziel sollen fehlerfrei vorliegen).

Gesucht ist dann warscheinlich n aus der Standardabweichung des Mittelwertes. Davor habe ich versucht mit b/r =alpha/rho, das b mit b=4mm zu berechnen.
Und mit 3mm =4mm/sqrt (n) , wäre n = 2. Kann das sein?

Gruß

Standardabweichung

rafl, Montag, 27.08.2018, 08:57 (vor 83 Tagen) @ artek

Hallo,

1. ist richtig. Das mit "senkrecht" ist blöd ausgedrück. Ist sicherlich ein Tippfehler des Aufgabenstellers oder als rechtwinklig zur Ziellinie gemeint.

2. Der Winkel zwischen dem Fernziel und dem Neupunkt hat eine Standardabweichung von 1 mgon * Wurzel(2), also 1,41 mgon. Man hat ja einmal eine Richtungsmessung zum Fernziel und einmal eine Richtungsmessung zum Neupunkt.

Auf 250 m Zielweite sind das 5,6 mm Querabweichung. Um auf weniger als 3 mm Querabweichung zu kommen muss man mind. 4 Sätze messen. 5,6 mm / Wurzel (4) = 2,8 mm. 3 Sätze reichen noch nicht. 5,6 mm / Wurzel(3) = 3,2 mm !

Rafl

Standardabweichung

artek, Montag, 27.08.2018, 21:10 (vor 82 Tagen) @ rafl

Vielen Dank für Deine Antwort! Ich stand wirklich auf dem Schlauch, weil ich mir hinsichtlich dieser Aufgaben es nicht vorstellen konnte dies als eine Aufgabe zum Thema Standardabweichung zu verstehen.
Ich verstehe unter der Standardabweichung(Quadratwurzel der Varianz) die durchschnittliche Streeung vom Mittelwert.

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Standardabweichung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Montag, 27.08.2018, 22:52 (vor 82 Tagen) @ artek

Hallo,

Ich verstehe unter der Standardabweichung(Quadratwurzel der Varianz) die durchschnittliche Streeung vom Mittelwert.

Du musst aber unterscheiden zwischen der Standardabweichung des Einzelwertes und der Standardabweichung des Mittels.

Viele Grüße
Micha

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Standardabweichung

artek, Dienstag, 28.08.2018, 21:54 (vor 81 Tagen) @ MichaeL

Guten Abend,

unter der Standardabweichung der Stichprobe verstehe ich die Streeung um den Mittelwert. Wenn ich an das Intervall denke, dann ist die 1-fache Standardabweichung(sigma1) das Intervall, in welchem sich ca. 68 % aller Messwerte befinden. Im Intervall (2sigma) ca. 95,4 % und (3sigma) 99,6 %.
Allerdings verstehe ich noch nicht, wann ich die Formel für die Standardabweichung ohne "bekanntem" Erwartungswert(also sqrt([vv]/n-1)) und wann die Formel für die Standardabweichung mit "bekanntem" Erwartungswer (also sqrt([vv]/n)) nehme.

Unter der Standardabweichung des Mittelwertes würde ich das selbe sagen, da wir uns auf die Stichprobe und nicht die Grundgesamtheit beziehen. Also wäre demnach die Standardabweichung des Mittelwertes, die Abweichung vom "wahren" Mittelwert, also der Grundgesamtheit?
Und hierbei komme ich ebenfalls ins stocken. Denn die Standardabweichung der Stichprobe wird damit durch die Wurzel der Anzahl der Messungen geteilt. Somit "wird" die Messung durch eine häufigere Messung besser?

Gruß

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Standardabweichung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Dienstag, 28.08.2018, 22:09 (vor 81 Tagen) @ artek

Hallo,

Allerdings verstehe ich noch nicht, wann ich die Formel für die Standardabweichung ohne "bekanntem" Erwartungswert(also sqrt([vv]/n-1)) und wann die Formel für die Standardabweichung mit "bekanntem" Erwartungswer (also sqrt([vv]/n)) nehme.

Der Name sagt es ja bereits: Wenn Du den Erwartungswert (z.B.: Soll-Wert) kennst, dann ist es nicht nötig, diesen aus der Stichprobe noch zu approximieren - Du kennst diesen ja bereits. In dem Fall ist Deine zweite Gleichung anzuwenden. Wenn Du den Erwartungswert aber nicht kennst, ist dieser zu schätzen, wodurch Du einen Freiheitsgrad verlierst und daher n-1 zur Berechnung verwendest.

Also wäre demnach die Standardabweichung des Mittelwertes, die Abweichung vom "wahren" Mittelwert, also der Grundgesamtheit?

Nein, die Abweichung wäre die Differenz zwischen Deiner Schätzung (also der Mittelwert) und dem wahren Wert. Die Standardabweichung gibt Dir die Streuung oder Zuverlässigkeit Deiner Schätzung an.

Somit "wird" die Messung durch eine häufigere Messung besser?

Der Mittelwert wird zuverlässiger, wenn er aus einer größeren Stichprobe resultiert - folglich muss die Standardabweichung auch kleiner werden. Die Standardabweichung Deiner Messung (also die des Einzelwertes) bleibt aber unverändert!

Viele Grüße
Micha

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Standardabweichung

artek, Montag, 27.08.2018, 21:58 (vor 82 Tagen) @ artek

Allerdings habe ich noch eine Frage bezüglich der Standardabweichung. Ob bei einem Tachymeter oder Nivelliergerät werden Standardabweichungen seitens der Hersteller angegeben. Handelt es sich bei der Standardabweichung stets um einen Fehler, welcher in die Zielrichtung wirkt? Also entsprechend der Aufgabe?

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Standardabweichung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Montag, 27.08.2018, 22:54 (vor 82 Tagen) @ artek

Hallo,

Handelt es sich bei der Standardabweichung stets um einen Fehler,

Nein, die Angabe beschreibt keinen Fehler. Ein Fehler entsteht bspw. durch eine falsche Bedienung.

welcher in die Zielrichtung wirkt?

Die Unsicherheit der Richtungsmessung wirkt ja nicht entlang der Zielrichtung sondern senkrecht dazu. Insofern ist es ja bei Deinem Beispiel noch nicht mal so. ;-)

Viele Grüße
Micha

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Standardabweichung

rafl, Dienstag, 28.08.2018, 12:28 (vor 82 Tagen) @ artek

Beim Tachymeter gibt es für die drei Messgrößen Horizontalrichtung, Vertikalrichtung und Distanz drei Genauigkeistangaben.

Die Unsicherheit der Horizontalrichtung wirkt immer in der Horizontalen quer zur Zielrichtung, die der Vertikalrichtung in vertikaler Richtung quer zur Zielrichtung und die der Distanzmessung in Zielrichtung.

Beim Nivellier bezieht sich die angegebene Genauigkeit in der Regel auf die Genauigkeit eines Höhenunterschiedes bezogen auf einen bestimmten Nivellementsweg. Z.B. 2mm auf 1km Nivellementsweg. Also nicht auf eine einzelne Zielung bzw. Ablesung.

Standardabweichung

artek, Dienstag, 04.09.2018, 20:15 (vor 74 Tagen) @ rafl

Guten Abend,

ich danke euch vielmals für Eure Hilfe. Diesbezüglich habe ich noch eine, hoffentlich letzte Unklarheit zu verstehen.

Wir haben einen Tachymeter, welcher laut Hersteller eine Messungenauigkeit in HZ-Richtung von +-2mgon besitzt sowie eine Messungenauigkeit in Vz-Richtung von +-1,5mgon.

Dazu wird beschrieben, dass wir ein Prisma in einer Entfernung von 63 Metern anzielen, welches eine Höhe von 1,2 m besitzt.

Kann ich das ebenfalls nach der Formel für die "Querabweichung" - also b/r = alpha / rho angehen?

Denn so habe ich eine Genauigkeit für jeweils:

Vz = 1,98 mm
Hz = 1,48 mm

Desweiteren habe ich die Standardabweichung des Mittelwertes berechnet, um auszurechnen, wie oft ich messen muss, um eine Genauigkeit von 1 mm zu erzielen.

Bei Vz müsste ich min. 4 mal messen
Bei Hz müsste ich min. 3 mal messen

Nur leider kann ich diese Werte nicht in einklang mit der Höhe des Prismas bringen. Die Frage lautet: Wie genau lässt sich die Lage und Höhe des Primas (in mm) in einer Messung messen? Jeweils für 1,2m sowie für 1,8m. Gelten die Genauigkeiten/Ungenauigkeiten nicht für beide Höhen des Prismas?


Gruß
Artek

Standardabweichung

rafl, Dienstag, 04.09.2018, 21:04 (vor 74 Tagen) @ artek

Hallo artek,

die Standardabweichungen gelten zunächst nur für das Prisma. Wenn man die Standardabweichung für die Lage und die Höhe des Bodenpunktes haben will, muss man für die Höhe noch die Standardabweichung der Stabhöhe berücksichtigen und für die Lage auch die Standardabweichung der Vertikalstellung des Stabes (Genauigkeit der Dosenlibelle). Oder wenn das Prisma auf einem Stativ aufgebaut ist, die Zentriergenauigkeit (Schnurlot, optisches Lot oder Laserlot).

Schöne Grüße
rafl

Standardabweichung

artek, Mittwoch, 12.09.2018, 23:07 (vor 66 Tagen) @ rafl

Habe nun doch die Formel bezüglich der Lageabweichung gefunden mit fL=(r*alpha)/rho

Nun hätte ich noch eine Unklarheit. Wenn ich mit einem 30 Meter Messband insgesamt 5 Messungen durchführe mit:
1.25,23m
2.25,19m
3.25,22m
4.25,42m
5.25,24m

Dann erhalte ich einen Mittelwert(Erwartungswert) von 25,26m und einer Standardabweichung von 9,1 cm.

Nun ist, wenn ich den Mittelwert wie auch die berechnete Standardabweichung sehe der Messwert 4 mit 25,42m der Ausreißer. Ist es nun möglich den 4er komplett zu streichen um dann den Mittelwert sowie Standardabweichung neu zu berechnen mit 4 Messwerten?

Denn so würde die Standardabweichung für eine Messbandmessung von 0,091m auf 0,022m sinken. Ist es so korrekt?

So

Gruß

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Standardabweichung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 13.09.2018, 09:03 (vor 66 Tagen) @ artek
bearbeitet von MichaeL, Donnerstag, 13.09.2018, 11:19

Hallo,

Ist es nun möglich den 4er komplett zu streichen um dann den Mittelwert sowie Standardabweichung neu zu berechnen mit 4 Messwerten?

Ja, das wäre denkbar und würde in der Praxis sicher auch so gelebt werden. Warum sollte man auch eine vermeintlich schlechte Messung behalten wollen?

Wenn zu befürchten ist, dass Ausreißer die Schätzung verfälschen - sie dann also nicht mehr Erwartungstreu ist -, bieten sich robuste Verfahren an. In Deinem Fall könnte man den Median nutzen. Dieser beträgt 25.23 m. Als Streuungsmaß bietet sich dann der MAD an. Für Deine Reihe beträgt dieser 0.015 m.

Somit hat man alle Kenngrößen, die man für eine Datenbewertung heranziehen könnte. Wenn wir das Vertrauensintervall auf das dreifache der Standardabweichung legen, dann sind Abweichungen von ca. 0.045 m in Deinem Fall zulässig {25.185 < m < 25.275}. Die 4. Messung würde draußen liegen in dem Fall. Der Mittelwert ohne die 4. Messung ist dann 25.22 m und die Standardabweichung 0.02 m. Beide Werte passen also ganz gut zur robusten Schätzung.

Viele Grüße
Micha

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Tags:
Standardabweichung, Mittelwert, Median, median absolute deviation, MAD, Messung

Standardabweichung

rafl, Donnerstag, 13.09.2018, 10:02 (vor 66 Tagen) @ MichaeL

Hallo MichaeL,

kannst du mal erklären, wie du auf den Wert für den MAD von 0,015 kommst?

Aus den Angaben in Wikipedia werde ich nicht so ganz schlau bzw. ich komme da auf einen anderen Wert.

Der Median ist 25,23.

Die absoluten Abweichungen sind:
0,00
0,04
0,01
0,19
0,01

Davon der Median ist 0,01. Das wäre nach meinem Verständnis der MAD.

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Standardabweichung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 13.09.2018, 10:14 (vor 66 Tagen) @ rafl

Hi,

kannst du mal erklären, wie du auf den Wert für den MAD von 0,015 kommst?

Ich habe Gl (14) verwendet ohne den Korrekturterm.

\sigma = 1.482... \cdot \sqrt{ median( (l - median(l))^2 ) }

l ist die Datenreihe und die 1.482... ergibt sich für normalverteielte Eingangsdaten.


Viele Grüße
Micha

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Standardabweichung

rafl, Donnerstag, 13.09.2018, 11:11 (vor 66 Tagen) @ MichaeL

OK,

das ergibt sich so aber nicht aus dem Wikipedia Artikel und auch nicht aus http://www.reiter1.com/Glossar/MAD_MAPE.html bzw. noch weiterer Quellen.

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Standardabweichung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 13.09.2018, 11:18 (vor 66 Tagen) @ rafl

Hi,

es ist konsistent mit der Implementierung in Matlab und der engl. Wikipedia, wo ich zunächst geschaut habe und dann einfach die deutsche Seite verlinkt hatte (habe ich mal geändert in meinem Beitrag). Dort ist auch die 1.48... näher erklärt. Ansonsten Jäger et al. (2005) S. 132, Kapitel 4.7.3.

Viele Grüße
Micha

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Standardabweichung

artek, Donnerstag, 13.09.2018, 10:23 (vor 66 Tagen) @ MichaeL

Guten Morgen,

ich habe es über einen Umweg gemacht. Ich habe zunächst die Standardabweichung für die komplette Messreihe berechnet. Und dann auf den Mittelwert +- die Standardabweichung berechnet wodurch sich ergab, dass der Messwert aus dem Intervall von Mittelwert +-Standardabweichung flog.

Auf der anderen Seite war die Aufgabe zu bestimmen, wie oft man hätte messen müssen um eine Standardabweichung von 0.02m (2cm) zu erreichen, was beim ersten Fall ohne den Rausschmiss des Ausreißers zu n = 21 geführt hätte. Beim zweiten, wo der Ausreißer entfernt wurde und die Standardabweichung für eine Messbandmessung von 0,022m(2,2cm) errechnet wurde ich auf n=2 kam ( 2cm = 2,2cm/wurzel(n)) - also der Standardabweichung des Mittelwertes.

Gruß

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Standardabweichung

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 13.09.2018, 10:29 (vor 66 Tagen) @ artek

Hallo,

Ich habe zunächst die Standardabweichung für die komplette Messreihe berechnet. Und dann auf den Mittelwert +- die Standardabweichung berechnet wodurch sich ergab, dass der Messwert aus dem Intervall von Mittelwert +-Standardabweichung flog.

Das Problem bei Deiner Vorgehensweise ist, dass die schlechte Messung bei der Bestimmung der Standardabweichung und des Mittelwertes miteinbezogen wurde. Deine Schätzung ist also verzerrt. Stell Dir vor, Du hast einen noch größeren Fehler (addiere zur Messung vier einfach noch mal 100 m):

1.  25.23
2.  25.19
3.  25.22
4. 125.42
5.  25.24

Jetzt würde Dein Verfahren nicht mehr greifen. Meine Ergebnisse aus der robusten Schätzung würde sich aber gar nicht ändern. Das Problem wird noch komplexer, wenn nicht nur eine Messung fehlerbehaftet ist.

Viele Grüße
Micha

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