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Helmert-Transformation mit Massstab=1 (Geodäsie/Vermessung)

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Freitag, 13.08.2021, 11:20 (vor 40 Tagen) @ Eddi
bearbeitet von MichaeL, Freitag, 13.08.2021, 11:44

Hallo Eddi,

kann mir jemand verraten, wie ich den bekannten Formelsatz zur Helmert-Transformation abändern muss, wenn ich einen vorgegebenen Masstabsfaktor beibehalten will?

Um Punkte zu Transformieren oder um die Transformationsparameter zu bestimmen?

Die Grundgleichung lautet in linearer Form

$X_i = T_x + a x_i - o y_i$ bzw. $Y_i = T_y + o x_i + a y_i$

Hierin sind $a = m \cos{\epsilon}$ und $o = m \sin{\epsilon}$ Hilfsgrößen der Drehung $\epsilon$ und des Maßstabs $m$.

Wenn Du folglich die Transformationsparameter bereits kennst, dann kannst Du diese direkt einsetzen und lokale $x_i$, $y_i$ Koordinaten in ihre globalen $X_i$, $Y_i$ Koordinaten überführen.

Der Tangents ist allgemein definiert als $\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$. Somit kann der Drehwinkel $\epsilon$ unabhängig vom Maßstab ermittelt werden, d.h.,

$\tan{\epsilon} = \frac{\sin{\epsilon}}{\cos{\epsilon}} = \frac{m \sin{\epsilon}}{m \cos{\epsilon}} = \frac{o}{a}$

Damit hast Du alles, was Du benötigst. Da $\epsilon$ nicht vom (geschätzten) Maßstab abhängt, kannst Du bei der Transformation der Punkte einen eigenen Maßstab $m'$ verwenden, d.h., $a' = m' \cos{\epsilon}$, $o' = m' \sin{\epsilon}$.

Umgekehrt ist auch der Maßstab unabhängig vom Drehwinkel. Mit dem Trigonometrischen Pythagoras gilt allgemein

$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha = 1$,

sodass wir direkt den Maßstab aus $a$ und $o$ erhalten zu

$m = \sqrt{a^2 + o^2} = \sqrt{m^2 \left(\sin^2 \epsilon + \cos^2 \epsilon\right)} = \sqrt{m^2}$.

Ich hoffe, dass hilft Dir weiter.

Viele Grüße
Micha

--
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Tags:
Maßstab, Drehwinkel, Helmert-Transformation, lineares Modell, Transformationsparameter


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