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Wie funktioniert eigentlich ... GPS (Geodäsie/Vermessung)

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Thursday, 11.01.2024, 23:23 (vor 92 Tagen) @ B'Elanna

Hallo B'Elanna,

zunächst gleich vorweg die Motivation an Dich, dass der vor 10 Jahren beschriebene Weg grundsätzlich funktioniert.

[image]

Du hast folgende Informationen zur Verfügung

PG04  9684.579133 -12365.985056 21179.273623 12  7 30  0 14 59.9282337034
PG17 21100.386587 -15160.775105  5040.165298 12  7 30  0 14 59.9229810491
PG23 18829.462534   4258.585786 18451.696713 12  7 30  0 14 59.9319392853
PG32  8436.336527  21103.245374 14333.803004 12  7 30  0 14 59.9228812318

Von jedem der vier Stelliten hast Du die Position gegeben in einem erdfesten Koordinatensystem. Die Einheit der Koordinaten ist Kilometer. Das Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Massenschwerpunkt der Erde. Die Z-Achse entspricht der Rotationsachse, die X-Achse verläuft in der Äquatorialebene durch den Nullmeridian bei Greenwich und Y steht senkrecht auf X und Z. Es ist demnach ein 3D-Koordinatensystem, dass alle Positionen auf der Erde in einem System darstellen kann. Neben diesen X, Y, Z Koordinaten sind geographische Koordinaten gebräuchlich, d.h. Länge und Breite. Die X, Y und Z Werte können in Länge und Breite verlustfrei konvertiert werden und dann bspw. in Deinem GPS-Empfänger eingestellt werden. Hierzu gibt es Formeln und auch freie Onlinetools im Netz.

Neben den Positionen der Satelliten hast Du auch den jeweiligen Zeitstempel, der Dir anzeigt, wann der Satellit das Signal abgeschickt hat. Du kennst auch die Empfangszeit des GPS-Empfängers. Die Signale sind also am 30.07.2012 um kurz vor 00:15 Uhr abgeschickt worden und waren damit weniger als eine Sekunde unterwegs zum Empfänger, der dieses Signal exakt um 00:15 Uhr empfangen hat. Aus den einzelnen Zeitdifferenzen ΔT und der Lichtgeschwindigkeit c = 299.792,458 km/s kannst Du den Abstand bestimmen. Es gilt einfach $s = c \cdot ΔT$. Nun kennst Du die Entfernung vom Empfänger zum jeweiligen Satelliten.

Nehmen wir an, Du kennst die Koordinate des Empfängers bereits, dann könntest Du die Strecken einfach über den Pythagoras bestimmen durch

$s' = \sqrt{\left(X-X'\right)^2 + \left(Y-Y'\right)^2 + \left(Z-Z'\right)^2}$

berechnen, wobei X', Y' und Z' die Koordinaten des Empfängers sein sollen, und wir einen Uhrfehler hier vernachlässigen dürfen.
Wenn Du nun s' durch Deine gemessenen Strecken s ersetzt, dann hast Du ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen, welches es nach den gesuchten Koordinaten X', Y' und Z' aufzulösen gilt.

Wenn Dir der Weg mit Papier und Taschenrechner zu zeitaufwendig ist, kannst Du nun mit einem Solver arbeiten. Das muss nicht Excel sein. Es könnte auch Octave, Scilab, Matlab oder ein anderes Numeriktool sein. Wichtig ist, dass dieser auch nichtlineare Probleme bearbeiten kann. LibreOffice scheint dies zu können.
Ziel ist es hierbei, die Abweichungen v = s-s' durch Modifikation von X', Y' und Z' so klein zu bekommen, dass die Quadratsumme ein Minimum wird, d.h. $\sum{v^2} \rightarrow \min$. Hast Du das Minimum erreicht, kennst Du die Position, die Du dann in Länge und Breite konvertieren kannst. Ich erhalte X' = 4108,9...km, Y' = 472,0...km und Z' = 4839,3...km.

Alternativ zum vorgeschlagenen numerischen Lösungsansatz kannst Du dem Hinweis auf Bancroft folgen. Dieser bezieht sich auf den Artikel An Algebraic Solution of the GPS Equations und präsentiert eine algebraischen - also einen direkten - Lösungsansatz für dieses Problem. Im Netz gibt es den Artikel u.a. auch hier.

Hilft Dir das weiter?

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
GeoCaching, GPS, GNSS, GC3RHDT, numerische Lösung, algebraische Lösung, Räumlicher Bogenschnitt, Bancroft


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