Hallo Doreen,

Leider kann ich hier kein Bild hinterlegen, sodass ich dir mal 1-2 von meinen Aufgaben senden kann.

Du kannst Bilder anfügen, wenn diese bereits im Internet vorliegen. Wenn Du eigene Bilder hier reinstellen möchtest, kannst Du ein Dienst nutzen wie ImgBB oder directupload.

1 Beispiel:
Von einem Standpunkt werden zu 4 verschiedenen Zielpunkten V-Winkel und Schrägstrecken gemessen. Von den Zielpunkten sind die Höhen bekannt, Standartabweichung der Zenitwinkel = 2mgon. Zu berechnen ist die ausgeglichene Höhe des Standpunktes und die a-posteriori Standartabweichung.
ZP A V-W 99,675 S 62,456 H 148,782
ZP B 103,920 42,843 145,826
ZP C 97,570 73,554 151,254
ZP D 98,500 36,482 149,329

Ergebnis: 148,4639m / 3,84mm

Diese Aufgabe lässt sich auf verschiede Weise lösen - mit leicht differierenden Werten. Wenn Ihr die Ausgleichungsrechnung auch schon hattet, wäre dies vermutlich der sinnvollste Weg. Ich gehe aber derzeit davon aus, dass Ihr das noch nicht hattet. Daher meine Alternative: Du kommst mit folgender Überlegung auch zu einem Ziel.

Das funktionale Modell für die Höhe des Punktes lautet:

$ZP = H - s \cdot \cos{V} = H - dH$

Die Höhen H der Punkte A,B,C,D werden also um ein dH reduziert, welches sich aus der Strecke und dem Zenitwinkel ergibt. Du könntest demnach das Dir bereits bekannte Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz anwenden, um die Standardabweichung der einzelnen Höhenunterschiede zu bestimmen. Da nur der Zenitwinkel eine Zufallsvariable darstellt, musst Du das funktionale Modell nur nach dieser partiell ableiten, d.h.,

$\frac{\partial dH}{\partial V} = s \cdot \sin{V}$

Jetzt kannst Du die Jacobimatrix aufstellen und mit den 2 mgon die (diagonale) Varianz-(Kovarianz-)Matrix der Zenitwinkel $\mathbf{C_{Z}}$ bilden, und erhältst dann mit

$\mathbf{C_{dH}} = \mathbf{FC_{Z}F^T}$

die Varianz-(Kovarianz-)Matrix $\mathbf{C_{dH}}$ der dH.

Jetzt kannst Du diese dH's wie eine Wiederholungsmessung/Messreihe ansehen und daraus eine mittlere Höhe bestimmen. Hier könnte man aber auch eine gewichtete Mittelwertbildung nutzen, da die dHs unterschiedliche Genauigkeiten aufweisen. Zum Abschätzen der Standardabweichung würde man erneut auf Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz zurückgreifen.

Wenn Du eine reine Mittelwertbildung annimmst, würde die Höhe aus

$\hat{ZP} = \frac{1}{4}(H_A - dH_A + H_B - dH_B + H_C - dH_C + H_D - dH_D)$

resultieren. Wenn Du eine gewichtete Mittelwertbildung machen willst, müsstest Du die $\frac{1}{4}$ durch die individuellen Gewichte p ersetzen, d.h.,

$\hat{ZP} = p_A (H_A - dH_A) + p_B (H_B - dH_B) + p_C (H_C - dH_C) + p_D (H_D - dH_D)$

mit $p_A + p_B + p_C + p_D = 1$.

Dann entspricht es praktisch einer Ausgleichungsrechnung.

Viele Grüße
Micha

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Tags:
Ausgleichsrechnung, Excel, Wiederholungsmessung, Gewichtete Summe, Höhen, Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz