Moin,

Ja, auf dem Ellipsoid. Sie bildet aber nicht die äußere Grenze.

Grundsätzlich muss sie das auch nicht.

Warum? Mein (Fehler) Ellipsoid hat ja auch drei verschieden lange Achsen und die erzeugen eben (rückblickend auf mein "normales", nicht verdrehtes (Ausgangs) Koordinatensystem je nach Ebene unterschiedliche Ellipsen. Wobei ich das Gefühl nicht loswerde, dass die jeweils dritte Achse des Ellipsoides schon eine Rolle spielt, da ja die Ellipsoidachsen gegen die Achsen des AusgangsKS verdreht sind. Somit entsteht ja dieses Ellipsoid, das eben nicht in jeder Achsrichtung symmetrisch ist. (flachgedrückter football)

Ich möchte gern den Schattenwurf einer Lampe, die (sehr weit weg) die z-Achse entlang strahlt und damit den elliptischen Schatten in der x-y-Ebene erzeugt.

... und dabei kann aus dem Ellipsoid auch ein Kreis werden in der Abbildung.

Im Extremfall ja. Und genau dann, wenn die z-Achsen zusammenfallen und die x- und y-Achse des Ellipsoides gleich lang sind.
Genau an diesem Beispiel sieht man, wie der Fehler in der Ebene(xy) sich abbildet. Führt man nun das Gedankenexperiment weiter und kippt das Ellipsoid ein wenig, so wirkt der im EllipsoidKS nach "oben" gerichtete Wert in die Abbildung der xy-Eben hinein. Und genau das möchte ich berechnen können.

ODER vielleicht klären wir mal kurz wozu ich den ganzen Zauber veranstalte: Ich möchte gern zu einem berechneten 3D-Punkt ein Fehlermaß in der Lage angeben. Möglicherweise hilft das schon ein bisschen bei der Betrachtung des Problems?

Na für Grün nehme ich den x-Wert der Hauptachse...

Ich hätte bei der Kovarianzmatrix die z-Komponente weg gelassen und damit die eig-Zerlegung gemacht.

Nee, das funktioniert nicht, da da komplett andere EV und EW herauskommen. Wenn man diese dann mit dem 3D-Ellipsoid vergleicht, dann sieht man, dass weder Drehung noch Figur übereinstimmen. (habe ich aber auch ausprobiert )

Kann man das vielleicht auch in Matrixform formulieren?

Geht bestimmt - aber fällt dann in Deinen Aufgabenbereich.

Ich weiß... War ein Versuch

Vermutlich brauche ich das im "Matrixfall" nicht mehr zu beachten, da ja in den Abblidungsmatrizen schon alles enthalten ist.

Die Matrix der Eigenvektoren ist die Rotation, die Eigenvektoren die Halbachsen und die Koordinaten vom Mittelpunkt entsprechen den Koordinaten des Punktes. Du hast also alle Werte zum Aufstellen der Gleichung fürs Ellipsoid und kannst es in diese Form überführen...

Genauso wird es werden.

Gruß Thomas