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Ausgleichung mit Restriktionen (Geodäsie/Vermessung)

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Friday, 26.01.2024, 21:09 (vor 77 Tagen) @ DoreenH

Hallo Doreen,

wie sieht dann die Normalengleichung aus?

Die Normalgleichung $\mathbf{Nx=n}$ ändert sich nicht. Sie wird nur von den Bedingungen $\mathbf{Rx=r}$ gerändert. Hierzu nutzt man die Lagrange Funktion, die Du bereits beim Gauß-Helmert-Modell kennengelernt hast. Sei $\mathbf{k}$ der Vektor der Lagrange Multiplikatoren, dann lautet das erweiterte System nun

$\begin{bmatrix} \mathbf{N} & \mathbf{R^{\mathrm{T}}} \\ \mathbf{R} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}\\\mathbf{k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{y}\\\mathbf{r} \end{bmatrix} $

und Du suchst die Lösung für $\mathbf{x}$ und $\mathbf{k}$. Ich habe mal anstelle von $\mathbf{B}$, wie Du es genannt hattest, $\mathbf{R}$ verwendet, um Verwechslungen zu vermeiden.

Mein Beispiel: Höhennetz mit 2 Festpunkten (A+B) und 2 Neupunkten (1+2)
geg. HA=115,584 m; HB=118,460 m (fehlerfrei); ΔhA1 = 0,5619 m; ΔhA2 = 3,5699 m; ΔhB1 = -2,3152 m; ΔhB2 = 0,6970 m; Δh12 = 3,0121 m (fehlerfrei)
Die ersten vier Höhendifferenzen haben eine a priori Standardabweichung von 1 mm, die letzte
Höhendifferenz ist fehlerfrei.

Dieses Beispiel kann auf verschiedene Weisen gelöst werden. Da es Dir um die Restriktionen geht, würde ich alle Deine fehlerfreien Informationen als Bedingung formulieren wollen.

Zunächst stellst Du - wie gehabt - die Beobachtungsgleichungen auf

$\Delta hA1 = H1 - HA = 0,5619\,\mathrm{m}$
$\Delta hA2 = H2 - HA = 3,5699\,\mathrm{m}$
$\Delta hB1 = H1 - HB =-2,3152\,\mathrm{m}$
$\Delta hB2 = H2 - HB = 0,6970\,\mathrm{m}$

und bildest die Designmatrix (Spalten korrespondieren mit $HA,\,HB,\,H1,\,H2$)

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & +1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & +1\\ 0 & -1 & +1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & +1 \end{pmatrix}$

und den Vektor der Beobachtungen

$\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 0,5619 \\ 3,5699 \\ -2,3152 \\ 0,6970 \end{pmatrix}$

Anmerkung: Häufig auch als $\mathbf{l}$-Vektor bezeichnet. Da $\mathbf{l}$, $\mathbf{I}$ und $\mathbf{1}$ schwer zu unterscheiden sind, nutze ich hier lieber $\mathbf{y}$.

Das stochastische Modell können wir vernachlässigen, da alle Beobachtungen das identische Gewicht besitzen und die Gewichtsmatrix dadurch als Einheitsmatrix dargestellt werden kann. Das Normalgleichungssystem lautet damit $\mathbf{Nx=n}$, worin $\mathbf{N=A{^\mathrm{T}}A}$ und $\mathbf{n=A{^\mathrm{T}}y}$ sind. Soweit sollte es Dir bekannt sein bzw. vorkommen - mal abgesehen von einigen Bezeichnungen vielleicht.

Mit den Restriktionen verfährst Du genauso. Wenn wir alle fehlerfreien Informationen als Restriktion betrachten wollen, dann hast Du drei Restriktionen:
$HA\overset{!}{=}115,584\,\mathrm{m}$,
$HB\overset{!}{=}118,460\,\mathrm{m}$,
$\Delta h12 = H2 - H1\overset{!}{=}3,0121\,\mathrm{m}$.

Mit

$\mathbf{R} = \begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & +1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 &+1 \end{pmatrix}$

und

$\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 115,5840 \\ 118,4600 \\ 3,0121 \end{pmatrix}$

ergeben sich diese in Matrixnotation $\mathbf{Rx=r}$.

Nun hast Du alles, was Du benötigst. Einsetzen in das erweitere Modell oben und auflösen nach $\mathbf{x}$ und $\mathbf{k}$. Die Lösung lautet dann

$\mathbf{\hat{x}} = \begin{pmatrix} 115,5840\\ 118,4600\\ 116,14435\\ 119,15645 \end{pmatrix}$

und

$\mathbf{\hat{k}} = \begin{pmatrix} 0,001\\ -0,001\\ -0,002 \end{pmatrix}$

Alles klar?

Viele Grüße
Micha

--
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Tags:
Ausgleichung, Höhennetz, Parameterschätzung, Gauß-Markov-Modell, Restriktionen, Bedingungen


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