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Gauß-Markov Ausgleichsverfahren (Geodäsie/Vermessung)

MichaeL ⌂, Bad Vilbel, Donnerstag, 25.10.2018, 15:17 (vor 21 Tagen) @ Benjamin

Hallo,

Meine Designmatrix hat 30 Spalten

Okay. Damit das Gleichungssystem regulär wird - es also eine eindeutige Lösung für Dein Problem liefert -, muss rang(A) == 30 sein.

Vielleicht mal ein einfaches Beispiel aus der Formanalyse, um die Sache zu verdeutlichen. Eine Ebene soll geschätzt werden aus Punkten. Die Ebenengleichung lautet

n^Tx_i=d

hierin sind x ein Punkt der Ebene, n der Normalenvektor und d ein Abstandsparameter. Wenn Du nun mindestens drei Punkte hast (die nicht auf einer Gerade liegen), kannst Du n und d bestimmen. Das Gleichungssystem wird aber einen Defekt von 1 aufweisen - rang(A) = 3 aber die Anzahl der Unbekannten/Spalten in A ist 4. Der Defekt entsteht, weil n ein (Richtungs-)Vektor beliebiger Länge sein kann. Eine Änderung der Länge führt somit zu einer Änderung von d. Demnach sind n und d nicht unabhängig voneinander schätzbar.

Zur Behebung des Defektes reicht es demnach aus, z.b norm(n) == 1 zu fordern. In dem Fall erhält man die Hessische Normalform der Ebene und d ist der kürzeste Abstand vom Ursprung. Die hinzugefügte Bedingung ist geometrisch leicht zu interpretieren, sodass man keine Pseudoinverse oder ähnliches benötigt. Alternativ hätte man auch über d verfügen (z.B. d == 1).

Viele Grüße
Micha

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